Geometric partial differential equations on manifolds (Yamabe Problem)

Winter term 2022/23

Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119



Sprache/Language

The lecture is English on demand. If there is at least one participant who is not able to follow a lecture in German, then the lecture will be held in English. We will then define as well the German terminology, and obviously exercises can be handed in in German. The description of the lecture is in English, although the lecture itself might be German. The formal part of the annoucement is kept in German.

Inhalt der Vorlesung

Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ up.

Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.

Das Ziel der Vorlesung ist es, zu erklären, wie dieses Problem von Schoen und Yau in den 80er-Jahren gelöst wurde.

Die Vorlesung beginnt mit einer kurzen Einführung in benötigte Hilfsmittel aus der Geometrie und aus den partiellen Differentialgleichungen. Wir wandeln das Problem dann in eine partielle Differentialgleichung obigen Typs um und lösen dann die obige Gleichung unter Annahme der "Yamabe-Ungleichung".

Um die Yamabe-Ungleichung zu zeigen, benötigt man letztendlich den Satz von der positiven Masse (Schoen/Yau) aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man assoziiert hierbei gutartigen asymptotisch flachen Räumen (Modelle für Sterne, schwarze Löcher oder sonstige Materie-Ansammlungen) eine Gesamtmasse und zeigt deren Positivität. Wir werden den Satz von der positiven Masse aber in diesem Semester nur ztieren. Voraussichtlich werde ich den Satz von deer positiven Masse im Sommersemester 2022 in einer 2-stündigen Vorlesung zeigen.

Die Vorlesung wird in wesentlichen Teilen recht ähnlich wie das unten verlinkte Skript von C. Bär und mir aufgebaut sein.

Content of the lecture

For an alternative description in English language (emphasizing other aspects) see the KVV.

Prerequisites

We expect a quite mixed audience. Not many prerequisites are in fact required. A good understanding of Linear Algebra I and II and Analysis I-IV is sufficient to understand most of the lecture. The first 4 or 5 weeks of the lecture we will provide short summaries about Riemannian metrics and function spaces (Banach spaces, Sobolev spaces, Hölder spaces and associated embeddings). We will only summarize the basic concepts such that they can be used within the lecture as "black boxes". Proofs and and more details can be learnt in the lectures PDE I (e.g. Helmut Abels, summer term 2022) or Differential Geometry (e.g. Matthias Ludewig, current winter term). For those student who are not familiar with either of these concepts we provide special help; details will be announced soon here! More to come here.

Literatur(e)

Wichtigste Referenzen

Weitere Referenzen

siehe Skript

Quellen zu den Grundlagen

Weiterführende Literatur über Riemannsche Geometrie

Ort und Zeit

Registrierung

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Übungen

Die Übungsgruppe ist voraussichtlich am Donnerstag 16-18 in M102 (Stand 10.8.22). Es gibt ein wöchentlich zu bearbeitendes Übunsgblatt (siehe unten), das nach Korrektur dort besprochen wird.

Prüfung

Die Prüfung ist eine 30-minütige mündliche Prüfung.

Übungsblätter

(die Links werden sukzessive aktiviert)
Alle Blätter in einer Datei.

Verbundene Webseiten

Kriterien für Leistungsnachweise

Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.
Bernd Ammann, 11.08.2022
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