Symplectic Geometry and classical mechanics/Symplektische Geometrie und klassische Mechanik

Summer term 2023

Prof. Bernd Ammann, Office M 119



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Language/Sprache

This course is "English on demand". This means the language will be decided during the first week of the lecture. If there is at least one non-German-speaking person in the audience who is sincerely following the lecture, then the lecture will be given in English.
The following description mainly addresses to the German speaking audience. If somone is interested in an English description, please send an email to me (Bernd Ammann), and I will add it.

Was ist symplektische Geometrie und was ist der Zusammenhang zur klassischen Physik?

Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer geschlossenen, nicht-entarteten 2-Form ω. Nicht-entartet bedeutet hierbei: Zu jedem X ∈ TpM gibt es ein Y ∈ TpM mit ω(X,Y)≠0. Man nennt ω eine symplektische Form. Das einfachste Beispiel ist R2n mit Koordinaten x1,..., xn,y1,..., yn mit der symplektischen Form dx1∧ dy1+...+ dxn∧ dyn. Der Kotangentialraum T*Q einer beliebigen Mannigfaltigkeit Q trägt auch immer eine natürliche symplektische Struktur. Symplektische Mannigfaltigkeiten sind zunächst einmal von zentraler Wichtigkeit, um Phänomene der klassischen Mechanik in der Physik zu beschreiben: Hamiltonsche Systeme, Bewegung starrer Körper, Bewegungen nach Newtonschen Gesetzen unter Zwangsbedingungen, Himmelsmechanik. Sei Q die (Unter-)Mannigfaltigkeit der möglichen Konfigurationen (= Zuständen) eines solchen Systems. Ein Bewegung des Systems wird durch eine Kurve γ in Q beschrieben. Die Bewegungsgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung auf Q. Man beschreibt nun aber diese Bewegung nicht auf Konfigurationsraum Q, sondern auf T*Q. Ein Physiker nennen den Kotangentialraum T*Q den Phasenraum, und interpretieren die 1-Formen als mögliche Impulse. Durch die Einführung der Pulse als unabhängige Variablen wird die Bewegungsgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung reduziert, ganz analog wie man dies in der Diskussion zu ende der Analysis 4 macht. Das schöne ist, dass diese Bewegungsgleichungen nun eine besonders schöne Form haben. Es gibt eine Funktion H: T*Q → R, genannt Hamilton-Funktion, so dass die Bewegungsgleichung gerade der Fluss des Vektorfelds sgrad H ist, wobei sgrad eine symplektische Variante des Gradienten ist. Einer der Vorteile dieses Zugangs ist nun insbesondere, dass man - in guten Fällen - nun mehr Symmetrien sehen kann, als man zuvor auf Q hatte und dies erlaubt die Konstruktion von Erhaltungsgrößen und die Reduktion auf weniger Variablen, was eine erhebliche Vereinfachung des Systems ergibt. Trotz der engen Verflechtungen zur Physik, wird die Vorlesung aber eine Mathematik-Vorlesung sein. Alles wird auf den Kenntnissen der Anfänger-Vorlesungen aufbauend definiert und gezeigt und phsikalische Kenntnisse sind nicht nötig, um die Strukturen und Aussagen der Vorlesung zu verstehen.

Erforderliche Vorkenntnisse

Die Vorlesung richtet sich im Prinzip auch an mathematisch interessierte Physik-Studenten. Physik-Studenten, die Analysis IV (oder vergleichbar) nicht gehört haben, sollten sich möglichst bald bei mir per Email melden, damit wir uns überlegen können, wie sie die notwendigen Vorkenntnisse erhalten.

Inhalt der Vorlesung (English version below, "Content")

Wir beginnen mit einer Wiederholungen und Wissenserweiterung über differenzierbare Mannigfaltigkeiten, von Tangential- und Kotangentialvektoren, von Differentiallformen, der Lie-Ableitung und Flüsse von Vektorfeldern. Wir definieren symplektische Mannigfaltigkeiten und Hamiltonsche Systeme. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die Gleichung zur Beschreibung von Geodätischen auf (semi-)Riemannschen Mannigfaltigkeiten ergeben wichtige Beispiele von Hamiltonschen Systems.
Nach dieser Einführung planen wir die folgenden Themen Der genaue Inhalt der Vorlesung wird, abhängig vom Wissenstand und den Interessen der Teilnehmer, noch verändert.

Content of the Lecture

The precise content of the lecture will depend on the previous knowledge and the interests of the audience, see also the web page.

Literatur

Time and Location

Monday and Thursday 10-12 in M101.

Exercise group

There will be a weekly exercise sheet and a weekly exercise group. The exercise group ois currently planned for Wednesday from 16:00-18:00, i.e. 4 to 6 pm, in M103.

Exercise Sheets

and finally all exercise sheets in one pdf file.

Links to related web pages

Examination/Prüfung

The examination is an oral examination of about 30 minutes.
Die Prüfung und deren Wiederholungen erfolgen mündlich und dauern ca. 30 Minuten.

Formal criteria/Kriterien für Leistungsnachweise

We refer to the KVV.
Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.
Bernd Ammann, 31.01.2023
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