Symplectic Geometry and classical mechanics/Symplektische Geometrie und klassische Mechanik

Summer term 2023

Prof. Bernd Ammann, Office M 119

Current Announcements

Please register on GRIPS. We will send email announcements over this system.

Language/Sprache

This course is "English on demand". This means the language will be decided during the first week of the lecture. If there is at least one non-German-speaking person in the audience who is sincerely following the lecture, then the lecture will be given in English.
The following description mainly addresses to the German speaking audience. If somone is interested in an English description, please send an email to me (Bernd Ammann), and I will add it.

Was ist symplektische Geometrie und was ist der Zusammenhang zur klassischen Physik?

Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer geschlossenen, nicht-entarteten 2-Form ω. Nicht-entartet bedeutet hierbei: Zu jedem X ∈ T_pM gibt es ein Y ∈ T_pM mit ω(X,Y)≠0. Man nennt ω eine symplektische Form. Das einfachste Beispiel ist R²ⁿ mit Koordinaten x¹,..., xⁿ,y¹,..., yⁿ mit der symplektischen Form dx¹∧ dy¹+...+ dxⁿ∧ dyⁿ. Der Kotangentialraum T^*Q einer beliebigen Mannigfaltigkeit Q trägt auch immer eine natürliche symplektische Struktur. Symplektische Mannigfaltigkeiten sind zunächst einmal von zentraler Wichtigkeit, um Phänomene der klassischen Mechanik in der Physik zu beschreiben: Hamiltonsche Systeme, Bewegung starrer Körper, Bewegungen nach Newtonschen Gesetzen unter Zwangsbedingungen, Himmelsmechanik. Sei Q die (Unter-)Mannigfaltigkeit der möglichen Konfigurationen (= Zuständen) eines solchen Systems. Ein Bewegung des Systems wird durch eine Kurve γ in Q beschrieben. Die Bewegungsgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung auf Q. Man beschreibt nun aber diese Bewegung nicht auf Konfigurationsraum Q, sondern auf T^*Q. Ein Physiker nennen den Kotangentialraum T^*Q den Phasenraum, und interpretieren die 1-Formen als mögliche Impulse. Durch die Einführung der Pulse als unabhängige Variablen wird die Bewegungsgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung reduziert, ganz analog wie man dies in der Diskussion zu ende der Analysis 4 macht. Das schöne ist, dass diese Bewegungsgleichungen nun eine besonders schöne Form haben. Es gibt eine Funktion H: T^*Q → R, genannt Hamilton-Funktion, so dass die Bewegungsgleichung gerade der Fluss des Vektorfelds sgrad H ist, wobei sgrad eine symplektische Variante des Gradienten ist. Einer der Vorteile dieses Zugangs ist nun insbesondere, dass man - in guten Fällen - nun mehr Symmetrien sehen kann, als man zuvor auf Q hatte und dies erlaubt die Konstruktion von Erhaltungsgrößen und die Reduktion auf weniger Variablen, was eine erhebliche Vereinfachung des Systems ergibt. Trotz der engen Verflechtungen zur Physik, wird die Vorlesung aber eine Mathematik-Vorlesung sein. Alles wird auf den Kenntnissen der Anfänger-Vorlesungen aufbauend definiert und gezeigt und phsikalische Kenntnisse sind nicht nötig, um die Strukturen und Aussagen der Vorlesung zu verstehen.

Erforderliche Vorkenntnisse

Lineare Algebra I und II
Analysis I bis IV, zB von mir:
Physikalische Vorkenntnisse sind nicht notwendig, aber hilfreich zur Interpretation der Beispiele

Die Vorlesung richtet sich im Prinzip auch an mathematisch interessierte Physik-Studenten. Physik-Studenten, die Analysis IV (oder vergleichbar) nicht gehört haben, sollten sich möglichst bald bei mir per Email melden, damit wir uns überlegen können, wie sie die notwendigen Vorkenntnisse erhalten.

Inhalt der Vorlesung (English version below, "Content")

Wir beginnen mit einer Wiederholungen und Wissenserweiterung über differenzierbare Mannigfaltigkeiten, von Tangential- und Kotangentialvektoren, von Differentiallformen, der Lie-Ableitung und Flüsse von Vektorfeldern. Wir definieren symplektische Mannigfaltigkeiten und Hamiltonsche Systeme. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die Gleichung zur Beschreibung von Geodätischen auf (semi-)Riemannschen Mannigfaltigkeiten ergeben wichtige Beispiele von Hamiltonschen Systems.
Nach dieser Einführung planen wir die folgenden Themen

Symplektische Vektorräume und Beziehungen zu komplexen Strukturen
Symplektische Mannigfaltigkeiten
Der Kotangentialraum als symplektische Mannigfaltigkeit
Satz von Darboux und verwandte Sätze (Weinstein)
Symplektische Gradienten und Hamiltonsche Systeme
Liouville's Theorem
Poincarés Rekurrenz-Theorem
Wirkungs-Funktional
Prinzip von Maupertuis: Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen sind Umparametrisierungen von Geodätischen einer geeigneten Riemannschen Metrik
Poisson-Klammer
Erhaltungsgrößen (z.B. Energieerhaltung)
Integrable Systeme
Einige Anwendungen wie zum Beispiel Himmelsmechanik, rotierender Körper, Kreisel
Weiterführende Themen wie Stabilität, Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem, Existenz periodischer Orbiten

Der genaue Inhalt der Vorlesung wird, abhängig vom Wissenstand und den Interessen der Teilnehmer, noch verändert.

Content of the Lecture

Differentiable manifolds, tangential and cotangential vectors, differential forms, Lie derivative, flows of vector fields
symplectic vector spaces and relations to complex structures
symplectic manifolds
the cotangent space a symplectic manifold
Darboux' theorem and generalization (e.g. Weinstein's tubular neighborhood theorem)
symplectic gradients and Hamiltonian systems
Liouville's theorem
action functional and Lagrangian mechanics, Legendre transformation
prinziple of Maupertuis: Solutions of the Hamiltonian equations are reparametrizations of geodesics for a suitable Riemannian metric
Poisson brackets
preserved quantities (e.g. preservation of energy)
integrable systems
Some applications, e.g. to celestical mechanics, rotating rigid bodies, etc.
Advanced topics such as stability, Kolmogorow-Arnold-Moser theorem, symplectic reduction

The precise content of the lecture will depend on the previous knowledge and the interests of the audience, see also the web page.

Literature

Literature about symplectic geometry and classical mechanics

Kai Cieliebak, Symplectic Geometry, Lecture Notes (unpublished), Part A und Part B
D. McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford
M. Audin and M. Damian, Morse Theory and Floer Homology, Springer, Chap. 5
R. Berndt, An Introduction to Symplectic Geometry, AMS (English)
R. Berndt, Einführung in die symplektische Geometrie, Vieweg (Deutsch)
V. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer
R. Abraham, J. Marsden, Foundations of mechanics, Addison Wesley

Literature covering preliminaries

The required knowledge on manifolds, submanifolds and differential forms can be found in any of the following references:

W. Ballmann, Introduction to geometry and topology, Birkhäuser (English translation of the German reference below).
W. Ballmann, Einführung in die Geometrie und Topologie, Birkhäuser (Deutsch)
B. Ammann, Skript Analysis IV, Regensburg SS 2020 (Deutsch)

Time and Location

Monday and Thursday 10-12 in M101.

Exercise group

There will be a weekly exercise sheet and a weekly exercise group. The exercise group is currently planned for Wednesday from 16:00-18:00, i.e. 4 to 6 pm, in M101.

The first exercise group will be on April 19th, its subject will be "Differential forms on manifolds and its connections to the Lie derivative (Cartan formula)". It will be a combination of solving exercises in the exercise course, recalling knowledge from Analysis IV and bridging the gap between the knowledge of different groups of particpants. See Exercise Sheet no. 0, which will be downloadable on this page.

Afterwards, there will be a weekly exercise sheet, that you should hand in every Monday in the lecture. Exercise Heet no. 1 should be handed in on Monday April 24th. The solutions will be discussed in the exercise group directly afterwards.

Exercise Sheets

and finally all exercise sheets in one pdf file.

Links to related web pages

Examination/Prüfung

The examination is an oral examination of about 30 minutes.
Die Prüfung und deren Wiederholungen erfolgen mündlich und dauern ca. 30 Minuten.

Formal criteria/Kriterien für Leistungsnachweise

We refer to the KVV.
Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.

Bernd Ammann, 05.07.2023
Impressum und Datenschutzerklärung