Differentialgeometrie I
Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119
Veranstaltungsnummer 51120
Link zur G.R.I.P.S.-Seite
Inhalt der Vorlesung
In der Vorlesung betrachten wir differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
Ein großer Teil der Vorlesung wird sich mit riemannschen
Mannigfaltigkeiten beschäftigen, also Mannigfaltigkeiten,
auf denen Längen und Winkel gemessen werden können.
Beispiele sind Untermannigfaltigkeiten von Rn, Lie-Gruppen,
und Quotienten davon.
Wir interessieren uns vor allem für die Krümmung dieser Räume. Um diese
Krümmung effektiv zu studieren, definiert man einen Tensor, den Riemannschen
Krümmungstensor. Hieraus leitet man die Schnittkrümmung, die
Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung her. Wir werden Hindernisse
für die Existenz von Metriken mit positiver Schnittkrümmung, positiver
Ricci-Krümmung, negativer Krümmung und weiteren Variationen finden.
Durch Änderung von ein paar Vorzeichen enthält man eine semi-riemannsche
Mannigfaltigkeit. Dieser Begriff ist das zentrale Objekt der
Relativitätstheorie.
Die Einsteinschen Gleichungen sind Gleichungen an die Ricci-Krümmung, und eine
Vakuum-Lösung der Einstein-Gleichung ist eine semi-riemannsche Mannigfaltikeit
mit konstanter Ricci-Krümmung.
Ort und Zeit:
Mo 10-12 in M102 und Do 10-12 in M104
Übungen
Do 12-14, M104, betreut von Nicolas Ginoux
Aufgabenblätter
- Anwesenheitsaufgaben, tex-Code
- Blatt 1, tex-Code
- Blatt 2, tex-Code
- Blatt 3, tex-Code
- Blatt 4, tex-Code
- Blatt 5, tex-Code
- Blatt 6, tex-Code
- Blatt 7, tex-Code
- Blatt 8, tex-Code
- Blatt 9, tex-Code
- Blatt 10, tex-Code
- Blatt 11, tex-Code
- Blatt 12, tex-Code
- Blatt 13, tex-Code
- Blatt 14, tex-Code
- Blatt 15 (Extra-Aufgaben, um genügend Punkte zu erhalten), tex-Code
Hier erhält man alle Blätter in einer
einzigen pdf-Datei
Weitere Materialien
Kurzskript zu den topologischen Grundlagen als pdf.
Kurzskript zu Tensoren und Multilinearer Algebra als pdf.
Skript zum Satz von Gauß-Bonnet.
Literatur
- C. Bär,
Vorlesungsskript zur Differentialgeometrie, SS 2006,
- M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
- Cheeger, Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry
- B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity.
Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press
- F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer
- T. Sakai, Riemannian Geometry, Transl. Math. Monogr., AMS
- W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
- J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
- J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
- J. Lee, Riemannian manifolds, Springer
Konventionen
-
Wir nutzen den Begriff "separabler Raum"
wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Ein topologischer Raum,
der das zweite Abzählbarkeitsxiom erfüllt, ist separabel, aber i.a.
nicht umgekehrt.
- Ein topologischer Raum ist kompakt, genau dann wenn jede offene Überdeckung
eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Es gibt somit kompakte Räume, die
keine Hausdorffräume sind. Beispiel: Die "Klumpentopologie" auf M
ist die Topologie mit genau zwei offenen Mengen, nämlich der
leeren Menge und der ganzen Menge M. Eine Menge mit mindestens zwei Elementen,
versehen mit der Klumpentopologie ist kompakt,
aber nicht hausdorffsch.
- Wir nutzen den Begriff "parakompakt"
wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Allerdings nutzen wir ihn nur selten.
- In der Vorlesung nehmen wir immer an, dass eine Mannigfaltigkeit
das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Manche Bücher definieren
Mannigfaltigkeiten etwas anders als wir. Sie streichen das
2. Abzählbarkeitsaxiom und fordern an Stelle dessen, dass der Raum
parakompakt ist.
Die daraus entstehende Theorie ist fast identisch.
Um den Unterschied zu erklären, rede ich hier
von einer Mannigfaltigkeit in unserem Sinne und einer Mannigfaltigkeit im
parakompakten Sinn.
Jede Mannigfaltigkeit in unserem Sinne ist auch parakompakt, siehe zum Beispiel
Warner, Seite 8-10.
Umgekehrt ist jede Zusammenhangskompenente
einer Mannigfaltigkeit in dem parakompakten
Sinne auch eine Mannigfaltigkeit in unserem Sinne.
Die unterschiedlichen Definitionen werden relevant bei dem folgenden Beispiel:
Wir versehen R mit der diskreten Topologie. In unserer Vorlesung ist dies
keine Mannigfaltigkeit, jede Mannigfaltigkeit hat höchstens
abzählbar viele
Zusammenhangskomponenten. Es ist aber eine 0-dimensionale
Mannigfaltigkeit in dem parakompakten Sinn.
- Ob 0 eine natürliche Zahl sein wird, weiß ich selber noch nicht! :-)
Kriterien für benotete Leistungsnachweise
Um die üblichen Leistungsnachweise zu erhalten, sind folgende
Kriterien zu erfüllen:
- Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen, dies umfasst
- Regelmäßige Abgabe von Lösungen der Hausaufgaben.
Man muss mindestens 50 Prozent der Punkte erhalten, die man bei
korrekter Bearbeitung aller Aufgaben (ohne Zusatz-Aufgaben) erhalten kann.
Jeder Student muss jede abgegebene Hausaufgabe persönlich an der Tafel
vorrechnen können, um zu gewährleisten, dass er die Aufgaben selbst
verfasst hat.
- Die Bearbeitung der Hausaufgaben muss regelmäßig erfolgen. Ein
hinreichendes Kriterium ist hierbei: mindestens 25 Prozent der Punkte
der letzten 3 Hausaufgabenblätter sollten erreicht werden.
- Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Übungsgruppen.
Hierzu gehört das erfolgreiche Vorrechnen von Übungsaufgaben
(mind. zweimal pro Semester).
- Mündliche Abschlussprüfung (Modulteilprüfung). Dauer ca. 30 Minuten, Termin nach Vereinbarung.
Grundlage der Note ist die mündliche
Abschlussprüfung (Modulteilprüfung).
Unbenotete Leistungsnachweise
Bedingungen wie beim benoteten Leistungsnachweis.
Bernd Ammann, 06.03.2020
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