Differentialgeometrie I

Veranstaltungsnummer 51120

Inhalt der Vorlesung

In der Vorlesung betrachten wir differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Ein großer Teil der Vorlesung wird sich mit riemannschen Mannigfaltigkeiten beschäftigen, also Mannigfaltigkeiten, auf denen Längen und Winkel gemessen werden können. Beispiele sind Untermannigfaltigkeiten von Rⁿ, Lie-Gruppen, und Quotienten davon. Wir interessieren uns vor allem für die Krümmung dieser Räume. Um diese Krümmung effektiv zu studieren, definiert man einen Tensor, den Riemannschen Krümmungstensor. Hieraus leitet man die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung her. Wir werden Hindernisse für die Existenz von Metriken mit positiver Schnittkrümmung, positiver Ricci-Krümmung, negativer Krümmung und weiteren Variationen finden. Durch Änderung von ein paar Vorzeichen enthält man eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit. Dieser Begriff ist das zentrale Objekt der Relativitätstheorie. Die Einsteinschen Gleichungen sind Gleichungen an die Ricci-Krümmung, und eine Vakuum-Lösung der Einstein-Gleichung ist eine semi-riemannsche Mannigfaltikeit mit konstanter Ricci-Krümmung.

Ort und Zeit:

Mo 10-12 in M102 und Do 10-12 in M104

Übungen

Do 12-14, M104, betreut von Nicolas Ginoux

Aufgabenblätter

Hier erhält man alle Blätter in einer einzigen pdf-Datei

Weitere Materialien

Kurzskript zu den topologischen Grundlagen als pdf.
Kurzskript zu Tensoren und Multilinearer Algebra als pdf.
Skript zum Satz von Gauß-Bonnet.

Literatur

C. Bär, Vorlesungsskript zur Differentialgeometrie, SS 2006,
M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
Cheeger, Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry
B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press
F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer
T. Sakai, Riemannian Geometry, Transl. Math. Monogr., AMS
W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
J. Lee, Riemannian manifolds, Springer

Konventionen

Wir nutzen den Begriff "separabler Raum" wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsxiom erfüllt, ist separabel, aber i.a. nicht umgekehrt.
Ein topologischer Raum ist kompakt, genau dann wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Es gibt somit kompakte Räume, die keine Hausdorffräume sind. Beispiel: Die "Klumpentopologie" auf M ist die Topologie mit genau zwei offenen Mengen, nämlich der leeren Menge und der ganzen Menge M. Eine Menge mit mindestens zwei Elementen, versehen mit der Klumpentopologie ist kompakt, aber nicht hausdorffsch.
Wir nutzen den Begriff "parakompakt" wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Allerdings nutzen wir ihn nur selten.
In der Vorlesung nehmen wir immer an, dass eine Mannigfaltigkeit das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Manche Bücher definieren Mannigfaltigkeiten etwas anders als wir. Sie streichen das 2. Abzählbarkeitsaxiom und fordern an Stelle dessen, dass der Raum parakompakt ist. Die daraus entstehende Theorie ist fast identisch. Um den Unterschied zu erklären, rede ich hier von einer Mannigfaltigkeit in unserem Sinne und einer Mannigfaltigkeit im parakompakten Sinn.
Jede Mannigfaltigkeit in unserem Sinne ist auch parakompakt, siehe zum Beispiel Warner, Seite 8-10.
Umgekehrt ist jede Zusammenhangskompenente einer Mannigfaltigkeit in dem parakompakten Sinne auch eine Mannigfaltigkeit in unserem Sinne.
Die unterschiedlichen Definitionen werden relevant bei dem folgenden Beispiel: Wir versehen R mit der diskreten Topologie. In unserer Vorlesung ist dies keine Mannigfaltigkeit, jede Mannigfaltigkeit hat höchstens abzählbar viele Zusammenhangskomponenten. Es ist aber eine 0-dimensionale Mannigfaltigkeit in dem parakompakten Sinn.
Ob 0 eine natürliche Zahl sein wird, weiß ich selber noch nicht! :-)

Kriterien für benotete Leistungsnachweise

Um die üblichen Leistungsnachweise zu erhalten, sind folgende Kriterien zu erfüllen:

Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen, dies umfasst
- Regelmäßige Abgabe von Lösungen der Hausaufgaben. Man muss mindestens 50 Prozent der Punkte erhalten, die man bei korrekter Bearbeitung aller Aufgaben (ohne Zusatz-Aufgaben) erhalten kann. Jeder Student muss jede abgegebene Hausaufgabe persönlich an der Tafel vorrechnen können, um zu gewährleisten, dass er die Aufgaben selbst verfasst hat.
- Die Bearbeitung der Hausaufgaben muss regelmäßig erfolgen. Ein hinreichendes Kriterium ist hierbei: mindestens 25 Prozent der Punkte der letzten 3 Hausaufgabenblätter sollten erreicht werden.
- Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Übungsgruppen. Hierzu gehört das erfolgreiche Vorrechnen von Übungsaufgaben (mind. zweimal pro Semester).
Mündliche Abschlussprüfung (Modulteilprüfung). Dauer ca. 30 Minuten, Termin nach Vereinbarung.

Grundlage der Note ist die mündliche Abschlussprüfung (Modulteilprüfung).

Unbenotete Leistungsnachweise

Bedingungen wie beim benoteten Leistungsnachweis.

Bernd Ammann, 06.03.2020
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