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\let\al\alpha
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\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill WS 2012/13\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 22.10.2012\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Differentialgeometrie I \\
  2. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
Definieren Sie eine $C^k$-Struktur auf dem Produkt $M\times N$ zweier $C^k$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten $M$ und $N$ so, dass die Projektionen $M\times N\lra M$ und $M\times N\lra N$ $C^k$-Abbildungen sind.\\
$ $\\
{\bf Aufgabe 2}\\
Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum $X$ genau dann lokal hom\"oomorph zu $\mR^n$ ist, wenn jeder Punkt von $X$ eine zu $\mR^n$ selbst hom\"oomorphe offene Umgebung besitzt.\\
$ $\\
{\bf Aufgabe 3}\\
Wir betrachten $\mathbb{Z}^n$ als Untergruppe von $\mR^n$. Wie in der Gruppentheorie definieren wir die Relation $x\sim y$ $\iff$ $x-y\in\mathbb{Z}^n$ f\"ur $x,y\in\mR^n$. Der dazu geh\"orige Quotient $M^n:=\rquot{\mR^n}{\mathbb{Z}^n}$ hei\ss{}t \emph{$n$-dimensionaler Torus}.
\ben\item Zeigen Sie, dass $M^n$ ein kompakter Hausdorff-Raum ist.
\item Konstruieren Sie einen $C^\infty$-Atlas auf $M^n$, so dass 
die kanonische Projektion $\pi:\mR^n\lra M^n$ glatt und lokal glatt 
umkehrbar ist.
\item Zeigen Sie, dass $M^n$ diffeomorph zu $\underbrace{S^1\times\ldots\times S^1}_{n\textrm{-mal}}$ ist.
\item Zeigen Sie im Fall $n=2$, dass $M^2$ diffeomorph zum Drehtorus\\ $\{(x,y,z)^T\in\mR^3\,|\,(\sqrt{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1\}$ ist. \\
\een
%{\it Bitte wenden!}
%\pagebreak

\pagebreak
{\bf Aufgabe 4}\\
Es bezeichnen $\mR^{n\times n}$ den Raum aller reellen $n\times n$-Matrizen 
und $\mR_{\mathrm{sym}}^{n\times n}$ den Unterraum aller symmetrischen
 $n\times n$-Matrizen.
\begin{enumerate}
 \item Sei $f:\mR^{n\times n}\lra\mR_{\mathrm{sym}}^{n\times n}$, $
A\lmt {}^t\!AA$, wobei ${}^t\!A$ die zu $A$ transponierte Matrix bezeichnet.
Zeigen Sie, dass die Identit\"atsmatrix $\mathbb{1}_n$ 
ein regul\"arer Wert von $f$ ist.\\
{\it Zur Erinnerung: $c\in \mR_{\mathrm{sym}}^{n\times n}$ ist 
genau dann ein regul\"arer Wert, wenn f\"ur jedes 
$x\in f^{-1}(\{c\})$ das Differential $d_xf$ vollen Rang hat.}
\item Bestimmen Sie $\mathrm{Ker}(d_{\mathbb{1}_n} f)$.
\item Folgern Sie, dass die orthogonale Gruppe $\mathrm{O}_n$ 
eine $\frac{n(n-1)}{2}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von 
$\mR^{n\times n}\cong\mR^{n^2}$ ist.
\item Bestimmen Sie eine Karte von $\mathrm{O}_n$, die $\mathbb{1}_n$ enth\"alt.\\
{\it Hinweis: betrachten Sie die Exponentialabbildung.}
\end{enumerate}


\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Montag, den 29.10.2012} in der Vorlesung}.\\
\end{document}



