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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill WS 2012/13\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 15.10.2012\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. Carolina Neira Jim\'enez\\

\begin{center}
{\bf Differentialgeometrie I \\
  Anwesenheitsaufgaben am 17. und am 18.10.2012} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
Bilden Sie f\"ur~$A\subset\mR$ das Innere und den Abschluss,
und zwar bzgl.\ der Standardtopologie, der diskreten Topologie
und der Klumpentopologie auf~$\mR$, wobei
\begin{enumerate}
\item $A=[0,1]$,
\item $A=(0,1)$,
\item $A=\mathbb{Z}$,
\item $A=\mathbb{Q}$.\\
\end{enumerate}
%\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}


{\bf Aufgabe 2}\\
Es tragen $\mR^n$ und $\mR^m$ die Standardtopologien.
Zeigen Sie, dass die Produkttopologie auf
$\mR^n\times \mR^m=\mR^{n+m}$ mit der Standardtopologie \"ubereinstimmt.\\

{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $(X,\mathcal{O})$ ein topologischer Raum, ``$\sim$'' eine \"Aquivalenzrelation
auf $X$, $X/\sim=\left\{[x]\,|\,x\in X\right\}$ sei die Menge der \"Aquivalenzklassen,
$\pi:X\to X/\sim$, $\pi(x)=[x]$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Quotiententopologie $\mathcal{O}'$ auf $X/\sim$
tats\"achlich eine Topologie ist.
\item Zeigen Sie: $\pi:X\to X/\sim$ ist stetig.
\item
Sei $(Y,\mathcal{O}_Y)$ ein weiterer topologischer Raum und $f:X/\sim\;\to Y$ eine Abbildung.
Zeigen Sie:
  $$f:X/\sim \;\to Y \mbox{ ist stetig }\quad\Longleftrightarrow\quad f\circ \pi: X\to Y\mbox{ ist stetig.}$$
\item Sei $X=[0,1]\subset \mR$ mit der Standardtopologie.
Wir definieren
  $$s\sim t \quad\Longleftrightarrow\quad\left\{ 
    \begin{array}{l}
         s=t \mbox{ oder }\\
         s=0 \mbox{ und } t=1,\mbox{ oder}\\
         s=1 \mbox{ und } t=0.
    \end{array}
  \right.$$
Zeigen Sie: $[0,1]/\sim$ mit der Quotiententopologie ist hom\"oomorph 
zu $S^1=\{(x,y)\in \mR^2\,|\,x^2+y^2=1\}$ mit der Standardtopologie.\\
\end{enumerate}
%{\it Bitte wenden!}
%\pagebreak

{\bf Aufgabe 4}\\
Sei~$(X,{\cal O}_X)$ ein Hausdorff-Raum, sei~$p$ ein weiterer Punkt,
$p\notin X$.
Setze~$X^+:=X\cup\{p\}$. Wir definieren
	$$\mathcal{O}_{X^+}
	:=\mathcal{O}_X\cup\left\{\,(X\setminus K)\cup\{p\}
			\bigm|K\subset X\hbox{ kompakt}\,\right\}\;.$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item $(X^+,\mathcal{O}_{X^+})$ ist ein topologischer Raum.
\item $X^+$ ist kompakt.
\item $X^+$ ist Hausdorffsch genau dann, wenn $X$ {\em lokalkompakt} ist, d.\thinspace h.\ 
jeder Punkt in $x$ besitzt eine kompakte Umgebung.
\item $(-1,1)^+$ ist hom\"oomorph zu~$S^1$.
\end{enumerate}
Man nennt $X^+$ die {\em Ein-Punkt-Kompaktifizierung} von~$X$.\\


{\bf Aufgabe 5}\\
Sei $f:X\longrightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen R\"aumen.
\begin{enumerate}
\item Ist das Urbild jeder kompakten Teilmenge von $Y$ eine kompakte Teilmenge von $X$?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Im Falle $X=\mR^n$ und $Y=\mR^m$ nehmen wir zus\"atzlich voraus, dass $|f(x)|\buil{\lra}{|x|\to\infty}\infty$, wobei $|\cdot|$ die euklidische Norm im $\R^n$ bezeichnet.
Zeigen Sie, dass dann $f^{-1}(K)$ kompakt ist f\"ur jedes Kompaktum $K\subset\mR^m$.
\end{enumerate}


{\bf Aufgabe 6}\\
Sei $f:X\longrightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen.
\begin{enumerate}
 \item Zeigen Sie, dass das Bild einer zusammenh\"angenden Teilmenge von $X$ unter $f$ wieder zusammenh\"angend ist.
\item Ist das Urbild jeder zusammenh\"angenden Teilmenge von $Y$ unter $f$ wieder zusammenh\"angend? 
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}


{\bf Aufgabe 7}\\
Die Sinuskurve der Topologen ist ein topologischer Raum, definiert als der Graph der Funktion $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ im halboffenen Intervall $(0, 1]$, zusammen mit $\{0\}\times[-1,1]$, mit der Standard-Unterraumtopologie:

\[
 T = \left\{ \left( x, \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \right ) : x \in (0,1] \right\} \bigcup \{(0,y): y\in[-1,1]\}.
\]
    
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
 \item $T$ ist zusammenh\"angend.
 \item $T$ ist weder lokal zusammenh\"angend noch wegzusammenh\"angend.
\end{enumerate}


{\bf Aufgabe 8}\\
Sei $Y$ eine mit der Relativtopologie versehene nichtleere Teilmenge eines topologischen Raumes $X$ und $f:Y\lra\mR$ eine stetige Abbildung.
\begin{enumerate}
 \item Gibt es immer eine stetige Abbildung $\wit{f}:X\lra\mR$ so, dass $\wit{f}_{|_Y}=f$ gilt?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Zeigen Sie, dass im Fall $Y=S^n:=\{x\in\mR^{n+1}\,|\,|x|=1\}$ und $X=\mR^{n+1}$ jede stetige Abbildung $f:Y\lra\mR$ sich zu einer stetigen Abbildung $\wit{f}:X\lra\mR$ fortsetzen l\"asst.
\end{enumerate}


% \vskip1cm
% {\sl Abgabe der L\"osungen:
% \textbf{????? ??.10.2012} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



