\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
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\def \Id{\mathrm{Id}}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill WS 2012/13\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 15.10.2012\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. Carolina Neira Jim\'enez\\

\begin{center}
{\bf Differentialgeometrie I \\
  1. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Sei $M$ eine glatte $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\mathbb{R}^m$.
(Wir benutzen "`glatt"' immer im Sinne von $C^\infty$.)
Wenden Sie den Satz \"uber implizite Funktionen an, um zu zeigen, dass $M$ eine
$n$-dimensionale $C^\infty$-Mannigfaltigkeit ist. 
\item Sei nun $M:=S^n:=\{x\in \mathbb{R}^{n+1}\,|\,\|x\|=1\}$ die $n$-Sph\"are.
Geben Sie für jeden Punkt $p\in S^n$ eine offene Umgebung $V$ von $p$ in $S^n$ an und einen Homöomorphismus von $V$ nach $\mathbb{R}^n$. 
\end{enumerate}

{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $n\in\mathbb{N}$. Es bezeichne $\mR{\rm P}^n$ die Menge der $1$-dimensionalen Untervektorr\"aume von $\mR^{n+1}$. 
\ben\item Man identifiziere $\mR{\rm P}^n$ mit der Quotientenmenge $\rquot{\mR^{n+1}\setminus\{0\}}{\sim}$, wobei $x\sim y\iff \exists\,\lambda\in\mR^\times\textrm{ s.d. }x=\lambda y$, und versehen es mit der Quotiententopologie. 
Zeigen Sie, dass $\mR{\rm P}^n$ ein kompakter Hausdorff-Raum ist, 
der das 2. Abzählbarkeitsaxiom erf\"ullt.
%Leiten Sie daraus her, dass $\mR{\rm P}^n$ eine nat\"urliche Topologie tr\"agt, f\"ur die es kompakt und Hausdorffsch ist und so, dass die Projektionsabbildung $\mR^{n+1}\setminus\{0\}\lra\mR{\rm P}^n$ stetig ist
% 
%  {\it (Hinweis: 3. Aufgabe der Anwesenheitsaufgaben am 21.10)}.
\item Zeigen Sie, dass die Abbildungen 
\[U_j:=\{[x]\in\mR{\rm P}^n\,|\,x_j\neq 0\}\bui{\lra}{\varphi_j}\mR^n,\quad [x]\lmt\frac{1}{x_j}(x_1,\ldots,\wih{x_j},\ldots,x_{n+1})\](mit $1\leq j\leq n+1$), wohldefinierte Homöomorphismen sind (mit ``$\wih{x_j}$'' ist ``ohne $x_j$'' gemeint).
\item Zeigen Sie, dass dieser Atlas $C^\omega$ ist und leiten Sie daraus her, dass $\mR{\rm P}^n$ eine Struktur einer $n$-dimensionalen $C^\omega$-Mannigfaltigkeit tr\"agt.
\een

{\bf Aufgabe 3}\\
%\def\mROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}
Sei $k\in \mathbb{N}\cup\{0,\infty,\omega\}$. 
Zeigen Sie, dass jeder $C^k$-Atlas  $\mathcal{A}$
in genau einer $C^k$-Struktur  $\overline{\mathcal{A}}$
enthalten ist. Angenommen $\mathcal{A}_1$ und  
$\mathcal{A}_2$ sind zwei  $C^k$-Atlanten von $M$. Zeigen Sie: 
$\overline{\mathcal{A}_1}=\overline{\mathcal{A}_2}$ genau dann, wenn alle 
Karten in $\mathcal{A}_1$ mit allen Karten in $\mathcal{A}_2$ 
$C^k$-verträglich 
sind.\\

%{\bf Aufgabe 3}\\
%Definieren Sie eine $C^k$-Struktur auf dem Produkt $M\times N$ zweier $C^k$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten $M$ und $N$ so, dass die Projektionen $M\times N\lra M$ und $M\times N\lra N$ $C^k$-Abbildungen sind.\\
%{\it Bitte wenden!}
%\pagebreak

\pagebreak
{\bf Aufgabe 4}\\
Ein topologischer Raum $X$ hei\ss{}t genau dann \emph{wegzusammenh\"angend}, wenn je zwei Punkte aus $X$ durch einen stetigen Weg in $X$ verbunden werden k\"onnen.
Ein topologischer Raum $X$ hei\ss{}t genau dann \emph{lokal wegzusammenh\"angend}, wenn jeder Punkt aus $X$ eine Basis von wegzusammenh\"angenden Umgebungen besitzt.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass jede topologische Mannigfaltigkeit lokal wegzusammenh\"angend ist.
\item Zeigen Sie, dass die Zusammenhangskomponenten eines lokal wegzusammenh\"angenden topologischen Raumes offen und abgeschlossen sind.
\item Leiten Sie daraus her, dass die Zusammenhangskomponenten einer $m$-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit selbst $m$-dimensionale to\-po\-lo\-gi\-sche Mannigfaltigkeiten sind.
\end{enumerate}


\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Montag, den 22.10.2012} in der Vorlesung}.\\
\end{document}



