Geometric partial differential equations on manifolds (Yamabe Problem)

Winter term 2022/23

Prof. Bernd Ammann (Room M119) and Jonathan Glöckle

Sprache/Language

The lecture is English on demand. If there is at least one participant who is not able to follow a lecture in German, then the lecture will be held in English. We will then define as well the German terminology, and obviously exercises can be handed in in German. The description of the lecture is in German, although the lecture itself might be English. The formal part of the annoucement is kept in German.

Inhalt der Vorlesung

Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ u^p.

Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.

Das Ziel der Vorlesung ist es, zu erklären, wie dieses Problem von Schoen und Yau in den 80er-Jahren gelöst wurde.

Die Vorlesung beginnt mit einer kurzen Einführung in benötigte Hilfsmittel aus der Geometrie und aus den partiellen Differentialgleichungen. Wir wandeln das Problem dann in eine partielle Differentialgleichung obigen Typs um und lösen dann die obige Gleichung unter Annahme, dass die Yamabe-Konstante unterhalb einer gewissen Schwelle liegt.

Um zu zeigen, dass die Yamabe-Konstante unter dieser Schwelle liegt, benötigt man letztendlich den Satz von der positiven Masse (Schoen/Yau) aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man assoziiert hierbei gutartigen asymptotisch flachen Räumen (Modelle für Sterne, schwarze Löcher oder sonstige Materie-Ansammlungen) eine Gesamtmasse und zeigt deren Positivität. Wir werden den Satz von der positiven Masse aber in diesem Semester nur ztieren. Voraussichtlich werde ich den Satz von deer positiven Masse im Sommersemester 2022 in einer 2-stündigen Vorlesung zeigen.

Die Vorlesung wird in wesentlichen Teilen recht ähnlich wie das unten verlinkte Skript von C. Bär und mir aufgebaut sein.

Content of the lecture

For an alternative description in English language (emphasizing other aspects) see the KVV.

Prerequisites

We expect a quite mixed audience. Not many prerequisites are in fact required. A good understanding of Linear Algebra I and II and Analysis I-IV is sufficient to understand most of the lecture. The first 4 or 5 weeks of the lecture we will provide short summaries about Riemannian metrics and function spaces (Banach spaces, Sobolev spaces, Hölder spaces and associated embeddings). We will only summarize the basic concepts such that they can be used within the lecture as "black boxes". Proofs and and more details can be learnt in the lectures PDE I (e.g. Helmut Abels, summer term 2022) or Differential Geometry (e.g. Matthias Ludewig, current winter term). For those student who are not familiar with either of these concepts we provide special help; details will be announced soon here! More to come here.

Literatur(e)

Wichtigste Referenzen

Das Skript zur Vorlesung in der aktuellen Version (wird laufend angepasst)
Das Skript einer ähnlichen Vorlesung vor gut 4 Jahren.
Lee, Parker, The Yamabe problem, Bull. AMS 17 (1987), Seite 37 ff.

Weitere Referenzen

siehe Skript

Quellen zu den Grundlagen

Skripte zur Analysis IV: Ammann (SS 2020), Friedl (SS 2016) und Garcke (zB SS 2017 auf GRIPS, evtl. auch später)
Garcke, Funktionalanalysis (zB WS 2017/18 auf GRIPS, evtl. auch später)
Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter
Diverse Skripte von Christian Bär und Mitarbeitern, insbesondere das Skript zur Differentialgeometrie
M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser

Weiterführende Literatur über Riemannsche Geometrie

Cheeger, Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry
B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press
F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer
T. Sakai, Riemannian Geometry, Transl. Math. Monogr., AMS
W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
J. Lee, Riemannian manifolds, Springer

Time

Tuesday 8-10 and Friday 10-12.

Registrierung

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Übungen

Die Übungsgruppe ist voraussichtlich am Donnerstag 16 Uhr (sine tempore) - 17.30 Uhr in M102. Es gibt ein wöchentlich zu bearbeitendes Übungsblatt (siehe unten), das nach Korrektur dort besprochen wird.

Prüfung

Die Prüfung ist eine 30-minütige mündliche Prüfung.

Exercise Sheets

and all exercise sheets in one file together.

Verbundene Webseiten

Kriterien für Leistungsnachweise

Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.

Bernd Ammann, 14.09.2023
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