Seminar in Differentialgeometrie: Morsetheorie

Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119

For non-German speaking students

Non-German speaking students who are interested in the seminar should contact Bernd Ammann by email or telephone in order to discuss details.

Anmeldedetails

Vorbesprechung am Dienstag 14.7. um 13.15 im Sitzungszimmer der Mathematik
Dort werden die Vorträge vergeben. Bei der Vergabe der ersten drei Vorträge haben Lehramtstudierende Vorrang.
Bitte zusätzlich in G.R.I.P.S. anmelden, da wir Mitteilungen an die Teilnehmer über G.R.I.P.S. versenden. Link siehe unten.

Ort und Zeit:

Mittwoch 16-18, M103

Inhalt des Seminars

Sei f:M->R; eine glatte Funktion auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M. Die Morse-Theorie studiert die Beziehung zwischen kritischen Punkten von f und der Topologie von M. Wir erhalten eine anschauliche Methode, wie wir komplizierte Mannigfaltgkeiten in einfache Teilstücke zerschneiden können, oder anders ausgedrückt, wir erhalten eine Methode, mit der wir durch Aneinanderkleben von Kreisscheiben beliebige Mannigfaltigkeiten erhalten können. (Hier ist ein Link zu einem schönen Bild.)
Die Morse-Theorie hat wichtige Anwendungen in der Differentialgeometrie und Topologie, zum Beispiel Bott-Periodizität für klassische Gruppen; Existenzsätze für geschlossene Geodäten; weitergehende Anwendungen sind die höher-dimensionale Poincaré-Vermutung; Anwendungen auf symplektische Geometrie.
Die grundlegenden Sätze der Morse-Theorie (Kapitel I (Abschnitt 1-7) in Milnors Buch) werden in den ersten Vorträgen erarbeitet. Die weiteren Vorträge sind Anwendungen gewidmet. Wir betrachten hier vor allem die Existenz von geschlossenen Geodätischen (Kapitel III in Milnors Buch).

Vorkenntnisse

Analysis I-IV, Lineare Algebra I-II.
Analysis IV-Kenntnisse können für die ersten Vorträge durch die Geometrie (LA Gym) von Mihaela Pilca ersetzt werden, wenn die Teilnehmer bereit sind, kleinere Lücken selbstständig sich anzulesen.
Kenntnisse in Differentialgeometrie I werden im Laufe des Seminars hilfreich werden.

Vortragsplan

Zur Sprache: Die Literatur ist englisch. Sind alle Teilnehmer deutschsprachig, so ist das Seminar in deutsch. Sollten nicht deutsch-sprachige Studierende teilnehmen, so können sie auch auf englisch vortragen.

Die ersten drei Vorträge werden vorrangig an Lehramtskandidaten vergeben.
1. Vortrag Überblick, Definitionen, Morse-Lemma
(Quelle: [Mi1] Kapitel I §2, S. 4--11)
2. Vortrag Homotopie-Typ und kritische Werte
(Quelle: [Mi1] Kapitel I §3, S. 12--24)
3.+4. Vortrag Beispiele, Morse-Ungleichungen, Existenz von Morse-Funktionen
(Quelle: [Mi1], Kapitel I §4-6, S. 25-38
5a. Vortrag
S. Mahanta
halbe Sitzung 		Lefschetz-Theorem
(Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 39-42)
5b. Vortrag
B. Ammann 		Riemannsche Geometrie
Überblick über einige noch benötigte Sätze der riemannschen Geometrie
(Quelle: [Mi1], Kapitel II, §10, S. 55-66)
6. Vortrag Hessesche der Energie und Morse-Index-Theorem auf dem Pfadraum
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §13 und §15)
7. Vortrag Endlich-dimensionale Approximation und Topologie des Pfadraums
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §16-17)
8. Vortrag Topologie und Krümmung
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §18-19, S. 98 -- 108)
9. Vortrag Symmetrische Räume und Lie-Gruppen
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §20-22, S. 109 -- 123)
10. Vortrag Bott-Periodizität für die unitäre Gruppe
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §23, S. 124-- 132 )
11. Vortrag Bott-Periodizität für die orthogonale Gruppe
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §24, S. 133-- 146 )
12. Vortrag Überblick und Ausblick Dieser Vortrag fasst das bisherige nochmals zusammen, wird erst später festgelegt und vergeben.
13. Vortrag Die Smale-Bedingung
Ziel des Vortrags ist es, Theorem 2.2.5 in [AD] zu präsentieren und zu beweisen. Die Aussage sollte an Hand eines guten Beispiels verdeutlicht werden, z.B. den Torus in [AD,2.2.d], bei Zeitknappheit evtl. Beweisteile der Lemma 2.2.8 und 2.2.9 nur skizzieren. Alternative Quellen sind [Sm2, Theorem A] und [Mi2,Theorem 5.2].
14. Vortrag Der Morse-Komplex
Das zentrale Thema des Vortrags ist Abschnitt 3.1 von [AD]. Anschließend sollte noch [AD] Theorem 3.4.2 erklärt werden und dessen Beweis skizziert werden. Man sollte sich auf Werte in Z/2Z beschränken, die ganzzahlige Version [AD, 3.3] wird nicht benötigt.
15. Vortrag Morse-Homologie
Wir wollen Morse-Homologie definieren und einige Eigenschaften diskutieren: Künneth-Formel, Poincaré-Dualität, Euler-Charakteristik, Poincaré-Polynom, Morse-Ungleichungen
(Quelle: [AD] Abschnitte 4.1-4.4)
16. Vortrag Morse-Homologie = zelluläre Homologie
(Quelle: [AD] Anhang 4.9)

Schlussteil des Seminars

Nach dem 12. Vortrag gibt es mehrere naheliegende Möglichkeiten, fortzufahren. Das beste Vorgehen hängt insbesondere von den Interessen der Teilnehmer, möglichen Richtungen für Abschluss-Arbeiten (z.B. Bachelor-Arbeiten) und auch von der Zahl der Teilnehmer ab.

Mögliche Fortsetzungen:

  1. Der Morse-Smale-Komplex (siehe oben)
  2. h-Kobordismus-Satz
  3. Bott-Periodizität in der K-Theorie
Alle drei Themengebiete eignen sich gut für Abschlussarbeiten, selbst dann, wenn das Seminar eine der anderen Richtungen einschlägt.

Variante 2

13. Vortrag Die Smale-Bedingung und elementare Henkel-Auslöschung
Inhalt des Vortrags ist [Mi2] Kapitel 5.
Zusätzliche Literatur in modernerem Schriftsatz: Theorem 2.2.5 in [AD] wie oben.
14. Vortrag Henkel-Auslöschung in Termen von Schnittzahlen
Kapitel 6 in [Mi2].
15. Vortrag Henkel-Auslöschung in mittleren und Rand-Dimensionen
Erkläre Kapitel 7 in [Mi2] im Detail mit Beweisidee.
Erkläre die Resultate von Kapitel 8 in [Mi2].
16. Vortrag Der h-Kobordismus-Satz und Anwendungen
Kapitel 9 in [Mi2].

Variante 3

Die bisher hergeleitete unitäre Bott-Periodizität ist äquivalent zu einem Spezialfall der Bott-Periodizität in der K-Theorie von C*-Algebren. In dieser Variante lernen wir diese K-Theorie kennen, siehe hier für Details. Sie spielt insbesondere eine wichtige Rolle im Regensburger SFB.

Literatur:

[Mi1] J. Milnor Morse Theory
Princeton University Press (1963)
[AD] M. Audin, M. Damian Morse theory and Floer homology

Ergänzende Literatur:

[Mi2] J. Milnor Lectures on the h-Cobordism Theorem
[Sa] D. Salamon Morse theory, the Conley index and Floer homology
Bull. London Math. Soc. 22 (1990) 113-140
[Sm1] S. Smale Morse inequalities for a dynamical system
Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 43-49
[Sm2] S. Smale On gradient dynamical systems
Ann. of Math. (2) 74 1961 199–206.

Verbundene Webseiten

Kriterien für benotete Leistungsnachweise

Um die üblichen Leistungsnachweise zu erhalten, sind folgende Kriterien zu erfüllen:
  1. Erfolgreiches Vortragen
  2. Schriftliche Ausarbeitung eines Vortrages
  3. aktive Mitarbeit im Seminar

Unbenotete Leistungsnachweise

Wie bei benoteten Leistungsnachweisen.

Modulteilprüfung

Vortrag und Ausarbeitung bilden die Modulteilprüfung.


Bernd Ammann, 11.7.2015 oder später