Differentialgeometrie I

Inhalt der Vorlesung

Die wichtigsten Beispiele sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten, d.h. Mannigfaltigkeiten zusammen mit einer Riemannschen Metrik. Andere Beispiele sind Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die die Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben.

Ein wichtiger Gegenstand der Vorlesung ist die Riemannsche Krümmung, die wir genau untersuchen wollen. Wir erhalten wichtige Krümmungsgrößen, wie zum Beispiel die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung. Eine interessante Frage ist zum Beispiel, ob es Mannigfaltigkeiten gibt, deren Ricci-Krümmung Null ist, aber deren Schnittkrümmung nicht verschwindet. Im Falle von Lorentz-Mannigfaltigkeiten bedeutet dies in der Terminologie der Physik: gibt es gekrümmte Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie? Auf einer drei-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist dies nicht möglich. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der 3-dimensionale Raum mit der Zeit zu einer 4-dimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit verbunden. Auf solchen Räumen gibt es Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen. Ein Beispiel hiervon ist die Schwarzschild-Metrik, die ein nicht-rotierendes schwarzes Loch beschreibt.

Verschiedene Sätze der Vorlesung geben Auskunft darüber welche Krümmungseigenschaften auf welchen Mannigfaltigkeiten möglich sind. Kompakte Mannigfaltikeiten mit positiver Ricci-Krümmung besitzen zum Beispiel eine endliche Fundamentalgruppe. Dies führt zu vielen interessanten Beziehungen zur Tologie. Es ist deswegen hilfreich, aber nicht nötig, wenn Sie parallel hierzu die algebraische Topologie hören.

Weitere wichtige Themen der Vorlesung sind: Vektorbündel, Zusammenhänge, Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel (Eichfeldtheorie), Quotienten von Mannigfaltigkeiten.

Weitere Perspektive

Ort und Zeit:

• Vorlesung, Montag 2.11., 8.15-10.00 in M101 (Zeittausch mit Übungsgruppe Andreas Platzer, Raumtausch mit einer anderen Übungsgruppe)
• Keine Vorlesung am 5.11.

Aufgabenblätter

• Exercises in Class (Oct 19)
• Blatt 1
• Blatt 2
• Blatt 3
• Blatt 4
• Blatt 5
• Blatt 6
• Blatt 7
• Blatt 8
• Blatt 9
• Blatt 10
• Blatt 11
• Blatt 12
• Blatt 13

Übungen

Kurzskripte mit wichtigen Grundlagen

• Kurzskript zu Tensoren
• Kurzskript zur Topologie

Verbundene Webseiten

• Link zur G.R.I.P.S.-Seite
• Seite im kommentierten Vorlesungsverzeichnis

Literatur

Skripte

• C. Bär, Vorlesungsskript zur Differentialgeometrie, SS 2006,
• C. Bär, Differential Geometry (Unpublished Lecture Notes), Summer Term 2013,
  Essentially the English version of the script
• B. Ammann, Lineare Algebra I, WS 2007/08
• B. Ammann, Analysis I+II, 2013/14
• B. Ammann, Analysis III, WS 2014/15
• B. Ammann, Analysis IV, SS 2015

Bücher

• M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
• Cheeger, Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press
• F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer
• T. Sakai, Riemannian Geometry, Transl. Math. Monogr., AMS
• W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
• J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
• J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
• J. Lee, Riemannian manifolds, Springer

Konventionen

• Null ist keine natürliche Zahl
• die leere Menge ist zusammenhängend und wegzusammenhängend
• Wir nutzen den Begriff "separabler Raum" wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsxiom erfüllt, ist separabel, aber i.a. nicht umgekehrt.
• Ein topologischer Raum ist quasikompakt, genau dann wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Kompakte Räume sind dasselbe wie quasikompakte Hausdorffräume.
• Wir nutzen den Begriff "parakompakt" wie auf dieser Wikipedia-Seite erklärt. Allerdings nutzen wir ihn nur selten. Eine topologische Mannigfaltigkeit ist ein lokal-euklidischer Hausdorffraum, dessen Zusammenhangskomponenten eine abzählbare Basis der Topologie besitzen. Ein topologischer Raum ist genau dann eine topologische Mannigfaltigkeit, wenn er ein parakompakter lokal-euklidischer Hausdorffraum ist.

Kriterien für benotete Leistungsnachweise

1. Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen, dies umfasst
   • Regelmäßige Abgabe von Lösungen der Hausaufgaben. Man muss mindestens 50 Prozent der Punkte erhalten, die man bei korrekter Bearbeitung aller Aufgaben (ohne Zusatz-Aufgaben) erhalten kann. Jeder Student muss jede abgegebene Hausaufgabe persönlich an der Tafel vorrechnen können, um zu gewährleisten, dass er die Aufgaben selbst verfasst hat.
   • Die Bearbeitung der Hausaufgaben muss regelmäßig erfolgen. Ein hinreichendes Kriterium ist hierbei: mindestens 25 Prozent der Punkte der letzten 3 Hausaufgabenblätter sollten erreicht werden.
   • Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Übungsgruppen. Hierzu gehört das erfolgreiche Vorrechnen von Übungsaufgaben (mind. zweimal pro Semester).
2. Mündliche Abschlussprüfung (Modulteilprüfung). Dauer ca. 30 Minuten, Termin nach Vereinbarung.

Unbenotete Leistungsnachweise