Analysis auf Mannigfaltigkeiten (Analysis IV)
Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119
Jonathan Glöckle, Zimmer 310
Guadalupe Castillo Solano
Aktuelles
Vorlesungsskript
Die Vermittlung des Inhalts der Vorlesung erfolgt in erster Linie
durch das Skript. Das heißt, das Skript hat im wesentlichen die Rolle der
Vorlesung.
Das Skript gibt es in einer Normalvariante und einer Grossdruckvariante.
Achtung: Es ist nicht unwahrscheinlich, dass sich das Skript bis zu ca. 4-5 Stunden nach der Vorlesung, in der der jeweilige Abschnitt diskutiert wird, noch ändert. Jedesmal, wenn ich darin lese, sehe ich, was man noch besser machen sollte.
Im folgenden Kalender wird festgelegt, wann Sie in der Vorlesung wo angelegt sein sollten: (noch nicht alle Links aktiv)
Wie Sie sehen, soll es immer wieder Studierhinweise geben. Diese weisen darauf hin, was besonders wichtig ist, ob vielleicht ein bestimmtes Beispiel von zentraler Bedeutung ist, ob bei einem Satz eher der Beweis, die Aussage oder die Anwendung wichtig ist. Sie sind vielleicht ungefähr dazu vergleichbar, dass der/die Professor(in) irgendwann vorne sagt: "Wenn Sie hier nicht aufpassen, dann müssen Sie die Vorlesung nächstes Jahr nochmals hören."
Versionshinweise weisen auf Besonderheiten hin, wenn nach Erstpublikation etwas geändert wurde, ählich zu Release-Notes zu neuen Software-Versionen. Sie können für diejenigen hilfreich sein, die dann diesen Teil bereits gelesen haben.
Kommentare zum Vorlesungsstart
Die "Vorlesung" beginnt am 21.4. um 8:30. Ich werde dann eine Video-Konferenz veranstalten. Ich werde da noch einiges zum Skript sagen und weitere Beispiele geben, erwarte aber, dass Sie das Skript dann schon gelesen haben. Die in Analysis II übersprungenen Beweise werden jetzt durchgeführt. Wer das Skript schon zuvor alles durch Lesen gut durchdrungen hat, kann der Vorlesung auch ohne diese Video-Konferenz folgen.
Inhalt der Vorlesung
Die Vorlesung "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" (Analysis IV)
wendet sich an Studierende im dritten und vierten
Semester im Studiengang Bachelor Mathematik, sowie alle Physiker(innen), die besonderen Wert auf mathematische Grundlagen legen. Sie kann auch für Studierende des gymnasialen Lehramts interessant sein, zum Beispiel, wenn sie die unten genannten Anwendungen in der Physik konzeptioneller verstehen wollen.
Das zentrale Thema der Vorlesung sind Mannigfaltigkeiten, wie zum Beispiel Untermannigfaltigkeiten in Rn, die bereits in Analysis II kurz erwähnt wurden. Man kann damit zum Beispiel die Krümmung von Kurven in der Ebene und im Raum beschreiben, oder die von Flächen im Raum. Die Vorlesung legt auch die Grundlagen, um viele physikalische Theorien effektiv formulieren zu können: Symmetrie-Gruppen wie SO(3), klassische Mechanik, Elektrodynamik, Allgemeine Relativitätstheorie, Eichfeldtheorie. Auch für viele innermathematische Gebiete ist das Verständnis von Mannigfaltigkeiten ein erster wichtiger Schritt: angefangen bei partiellen Differentialgleichungen, die geometrisch motiviert sind, bis hin zur Algebraischen Geometrie, die den Begriff der Mannigfaltigkeit dann verallgemeinert. Wir wollen im Sommersemester die grundlegenden Objekte kennenlernen, mit denen diese Anwendungen studiert werden können: Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Vektorfelder, Differentialformen, Integration auf Mannigfaltigkeiten, Satz von Stokes, Satz von Gauß, kompakte Flächen, Satz von Gauß und Bonnet. Für einen ersten Eindruck empfehle ich u.a. das Buch von Christian Bär mit dem Titel Elementare Differentialgeometrie oder mein Skript der Vorlesung vor 5 Jahren. Weitere Literatur in der Vorlesung.
Im Wintersemester 2020/21 wird eine Vorlesung Differentialgeometrie I angeboten, die dann im Sommersemester 2021 durch die Vorlesung Differentialgeometrie II (Lorenzgeometrie) fortgeführt wird. In diesen Vorlesungen wird die Krümmung von Räumen systematisch studiert, was insbesondere zu einem einfachen und dennoch gründlichen Verständnis zentraler physikalischer Theorien wie allgemeiner Relativitätstheorie, klassischer Mechanik oder Elektrodynamik führt.
Vorkenntnisse
Analysis I und II, Lineare Algebra I und II. Hilfreich sind auch Analysis III.
Die Vorlesung ist zwar in erster Linie gedacht als Teil des 4-semestrigen Einführungskurses in Analysis, sie baut aber vor allem auf Analysis II auf und weniger auf Analysis III. Aus Analysis III benötigt sie vor allem die Transformationsformel, die man aber für diese Vorlesung auch ohne Beweis hinnehmen kann.
In Fällen nicht-geradliniger Studienverläufe (Ortswechsel, Fachwechsel, Pausen, Auslandssemester) kann es also auch sehr sinnvoll sein, die Vorlesung zu besuchen, ohne Analysis III gehört zu haben.
Literatur
Ort und Zeit der Vorlesung
Di 8-10 und Fr 8-10 in H31.
Zentralübung
Di 14-16 in H31, gehalten von Jonathan Glöckle.
Die erste Zentralübung findet am 21.4. statt, Details siehe GRIPS.
Übungen
Es gibt drei Übungsgruppen:
- Mi 16-18 M104
- Do 10-12 M 009
- Fr 10-12 H32
Das erste Blatt ist bereits freigeschaltet und wiederholt in der Vorlesung benötigte Inhalte der Analysis II.
Abgabe dann in der ersten Vorlesungswoche.
Organisation der Übungen durch Guadalupe Castillo Solano.
Registrierung für die Gruppen ab jetzt bis Mittwoch, 15. April 2020, 12.00 Uhr via GRIPS.
Die Gruppen trefen sich zum ersten Mal bereits in der ersten Woche, also ab dem 20.4.2020. Dieses Treffen dient unter anderem dazu, den technischen Ablauf zum Laufen zu bringen.
Übungsblätter
(die Links werden sukzessive aktiviert)
- Blatt 1, veröffentlicht 8.4., abzugeben 20.4.
- Blatt 2, veröffentlicht 20.4., abzugeben 27.4.
- Blatt 3, veröffentlicht 27.4., abzugeben 4.5.
- Blatt 4,
- Blatt 5,
- Blatt 6,
- Blatt 7,
- Blatt 8,
- Blatt 9,
- Blatt 10,
- Blatt 11,
- Blatt 12,
- Blatt 13,
- Blatt 14,
Alle Übungsblätter in einer Datei.
Tutoriumsblätter
(die Links werden sukzessive aktiviert)
- Tutoriumsblatt 1,
- Tutoriumsblatt 2,
- Tutoriumsblatt 3,
- Tutoriumsblatt 4,
- Tutoriumsblatt 5,
- Tutoriumsblatt 6,
- Tutoriumsblatt 7,
- Tutoriumsblatt 8,
- Tutoriumsblatt 9,
- Tutoriumsblatt 10,
- Tutoriumsblatt 11,
- Tutoriumsblatt 12,
- Tutoriumsblatt 13,
- Tutoriumsblatt 14,
- Das urspünglich geplante Tutoriumsblatt 14 als Knobelaufgaben zum Selbststudium,
Alle Tutoriumssblätter in einer Datei.
Wichtige Termine...
Mögliche Termine für mündliche Prüfungen werden später entweder auf meiner Homepage oder in der Vorlesung bekanntgegeben.
Verbundene Webseiten
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Bernd Ammann, 13.12.2021
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