We then show important applications, in particular the Poincaré conjecture in higher dimensions: Each simply-connected compact differentiable manifold without boundary of dimension n ≥ 5 with the integral homology of a sphere is already homeomorphic to a sphere. Such spaces are even diffeomorphic to a sphere in the cases n=5 and n=6 (not proven in the seminar), but e.g. in dimension n=7 there are manifolds which are homeomorphic, but not diffeomorphic to a sphere. Such manifolds are called exotic spheres.
Wir zeigen auch wichtige Anwendungen, unter anderem die Poincaré-Vermutung in höheren Dimensionen: Jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 mit der ganz-zahligen Homologie einer Sphäre ist bereits homöomorph zu einer Sphäre. Man erhält sogar Diffeomorphie im Fall n=5 und n=6, aber es gibt Mannigfaltigkeiten die zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer Sphäre der Dimension 7 sind.
Weitere interessante Anwendungen findet man in Kapitel 9 des Buches von Milnor.
Eine der wichtigsten Methoden des Buches ist, Morse-Funktionen auf dem Bordismus zu vereinfachen. Derartige Techniken sind auch wichtig, um zum Beispiel zu zeigen, dass jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 genau dann eine riemannsche Metrik mit positiver Skalarkrümmung trägt, wenn es keine indextheoretische Obstruktion gibt.
Das Programm des Seminars wird zu knapp zwei Dritteln vom Beweis des h-Kobordismus-Satzes geprägt. Der restliche Teil des Programms wird voraussichtlich im August festgelegt.