Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.
Wir haben im Sommersemester gesehen, dass das Problem eine Lösung besitzt, falls die Yamabe-Konstante von M kleiner als die Yamabe-Konstante der runden Sphäre ist. Wir zeigen nun, dass diese Bedinung immer erfüllt ist, sobald M nicht konform äquivalent zu einer runden Sphäre ist.
Ein wichtiger Bestandteil des Beweises ist das Theorem der positiven Masse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dieses besagt anschaulich gesprochen, dass die Gesamtmasse eines Raums mit nicht-negativer Massendichte nie negativ sein kann. Hinter diesem mathematisch zu präzisierenden Satz steckt ein wichtiges mathematisches Theorem, das in voller Allgemeinheit erst in den letzten Jahren gezeigt werden konnte.