The Yamabe problem/Das Yamabe Problem

Sprache/Language

The lecture is English on demand. If there is at least one participant who is not able to follow a lecture in German, then the lecture will be held in English. We will then define as well the German terminology, and obviously exercises can be handed in German. The description of the lecture is in English, although the lecture itself might be German, whereas the formal part of the annoucement is kept German.

Inhalt der Vorlesung

Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ u^p.

Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.

Das Ziel der Vorlesung ist es, zu erklären, wie dieses Problem von Schoen und Yau in den 80er-Jahren gelöst wurde.

Die Vorlesung beginnt mit einer kurzen Einführung in benötigte Hilfsmittel aus der Geometrie und aus den partiellen Differentialgleichungen. Wir wandeln das Problem dann in eine partielle Differentialgleichung obigen Typs um und lösen dann die obige Gleichung unter Annahme der "Yamabe-Ungleichung".

Um die Yamabe-Ungleichung zu zeigen, benötigt man letztendlich den Satz von der positiven Masse (Schoen/Yau) aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man assoziiert hierbei gutartigen asymptotisch flachen Räumen (Modelle für Sterne, schwarze Löcher oder sonstige Materie-Ansammlungen) eine Gesamtmasse und zeigt deren Positivität.

Die Vorlesung wird in wesentlichen Teilen recht ähnlich wie das unten verlinkte Skript von C. Bär aufgebaut sein.

Content of the lecture

For a first impression, see the script by C. Bär on Geometric Analysis linked below.

Prerequisites

We expect a quite mixed audience. Not many prerequisites are in fact required. A good understanding of Linear Algebra I and II and Analysis I-IV is sufficient to understand most of the lecture. The first 4 or 5 weeks of the lecture we will provide short summaries about Riemannian metrics and function spaces (Banach spaces, Sobolev spaces, Hölder spaces and associated embeddings). We will only summarize the basic concepts such that they can be used within the lecture as "black boxes". Proofs and and more details can be learnt in the lectures PDE I (e.g. Garcke summer term 2018) or Differential Geometry (e.g. K. Bohlen WS 2018/19). For those student who are not familiar with either of these concepts we provide special help and exercises during the first half of the semester in the "Zentralübung" see below. In order to keep a good balance for the workload, the content of the examinations of those students will not include proofs of the third part of the lecture.

Einstiegshilfen für Studenten mit geringen Vorkenntnissen

Übungen am Dienstag 10.4.: Präsenzübungen zum Thema Untermannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten
Zentralübung am Mittwoch 11.4.: Tangentialvektoren, Tangentialbündel, Differential von glatten Abbildungen, Riemannsche Metriken, erste Fundamentalform, der obere Halbraum als Modell des hyperbolischen Raums
Zentralübung am Mittwoch 18.4..: Die Gauß-Krümmung von Flächen.

Plan der ersten Wochen

Ca. 2 Wochen: Kurzeinführung in Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Ca. 2 Wochen: Kurzeinführung in Analytische Hilfsmittel auf Mannigfaltigkeiten
Danach: Das Yamabe-Problem: Problem-Beschreibung, das zugehörige Funktional

Literatur(e)

Wichtigste Referenzen

Das Skript dieser Vorlesung
Skript von Christian Bär, Geometrische Analysis. Unsere Vorlesung wird in Teilen sehr nahe an diesem Skript sein. Es ist geplant, dass ich an dem Skript von Christian Bär im Rahmen der Vorlesung weiterschreibe, wodurch ein gemeinsames Skript entsteht.
Lee, Parker, The Yamabe problem, Bull. AMS 17 (1987), Seite 37 ff.

Weitere Referenzen

siehe Skript

Quellen zu den Grundlagen

Skripte zur Analysis IV: Ammann (SS 2015), Friedl (SS 2016) und Garcke (SS 2017) auf GRIPS
Garcke, Funktionalanalysis (WS 2017/18) auf GRIPS
Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter
Diverse Skripte von Christian Bär und Mitarbeitern, insbesondere das Skript zur Differentialgeometrie
M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser

Weiterführende Literatur über Riemannsche Geometrie

Cheeger, Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry
B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press
F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer
T. Sakai, Riemannian Geometry, Transl. Math. Monogr., AMS
W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
J. Lee, Riemannian manifolds, Springer

Ort und Zeit

Montag 14-16 in M101 und Freitag 12-14 in M103.

Registrierung

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Übungen

Die Übungsgruppe ist voraussichtlich am Dienstag 16-18 in M101. Es gibt ein wöchentlich zu bearbeitendes Übunsgblatt (siehe unten), das nach Korrektur dort besprochen wird.

Zentralübung

Mittwoch 16-18 in M103.

Prüfung

Die Prüfung ist eine 30-minütige mündliche Prüfung.

Übungsblätter

(die Links werden sukzessive aktiviert)

Alle Blätter in einer Datei.

Verbundene Webseiten

Kriterien für Leistungsnachweise

Siehe kommentiertes Vorlesungsverzeichnis.

Bernd Ammann, 15.10.2018
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