\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\lala{\langle\!\langle}
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\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 21.7.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II\\
  11. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}



{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $\mathcal{G}\bui{\lra}{\pi}M$ eine Garbe.
\ben
\item Zeigen Sie, dass jeder (stetige) Schnitt von $\mathcal{G}$  ein lokaler Hom\"oomorphismus ist.
\item Seien $s_1,s_2$ Schnitte von $\mathcal{G}$.
Zeigen Sie, dass $S:=\{x\in M\,|\,s_1(x)=s_2(x)\}$ offen in $M$ ist.
Ist $S$ abgeschlossen?
\een

{\bf Aufgabe 2}\\
Seien $\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2$ Garben \"uber $M$ und $\varphi,\psi:\mathcal{G}_1\lra\mathcal{G}_2$ ein Garbenhomomorphismen.
\ben\item Zeigen Sie, dass $\varphi$ ein lokaler Hom\"oomorphismus ist.
\item Zeigen Sie, dass $S:=\{f\in \mathcal{G}_1\,|\,\varphi(f)=\psi(f)\}$ offen in $\mathcal{G}_1$ ist.
\item Leiten Sie daraus her, dass $\{f\in\mathcal{G}_1\,|\,\varphi(f)\neq0\}$ abgeschlossen in $\mathcal{G}_1$ ist.
\een


{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $0\lra\mathcal{G}_1\lra\mathcal{G}_2\lra\mathcal{G}_3\lra0$ eine kurze exakte Sequenz von Garben.
Zeigen Sie, dass die induzierte Sequenz $0\lra\Gamma(\mathcal{G}_1)\lra\Gamma(\mathcal{G}_2)\lra\Gamma(\mathcal{G}_3)$ exakt ist.

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 28.7.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



