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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 14.7.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  10. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}



{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $V$ ein $2k$-dimensionaler reeller Vektorraum ($k\geq 1$) und $B:V\times V\lra\R$ eine regul\"are symmetrische Bilinearform auf $V$.
Angenommen, ein $k$-di\-men\-sio\-na\-ler Unterraum $W\subset V$ existiere mit $B_{|_{W\times W}}=0$.
Zeigen Sie, dass dann eine Basis von $V$ so existiert, dass die Matrix von $B$ in dieser Basis die Gestalt 
$\left(\begin{array}{cc} 1\!{\rm I}_k&0\\0&-1\!{\rm I}_k\end{array}\right)$ hat.\\

{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $M$ eine $2k$-dimensionale kompakte orientierbare topologische Mannigfaltigkeit, wobei $k\geq 1$.
Zeigen Sie: ist $H_{k-1}(M;\mathbb{Z})$ torsionsfrei, so ist $H_{k}(M;\mathbb{Z})$ ebenfalls torsionsfrei.\\




{\bf Aufgabe 3}\\
Ziel der Aufgabe ist es, die Ringstruktur von $H^\bullet(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ mit Hilfe der Schnitt\-form zu bestimmen.
\ben\item  Bestimmen Sie die $\mathbb{Z}$-Kohomologiemoduln $H^q(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ f\"ur alle $q\in\mathbb{Z}$.
Dazu zeigen Sie, dass die Inklusion $\C\mathrm{P}^{n-1}\bui{\hookrightarrow}{\iota}\C\mathrm{P}^n$ einen $\mathbb{Z}$-Mo\-dul\-iso\-mor\-phis\-mus $H^q(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})\bui{\lra}{H^q(\iota)}H^q(\C\mathrm{P}^{n-1};\mathbb{Z})$ induziert f\"ur alle $q\neq 2n-2$.\\
{\sl (Hinweis: wenden Sie das universelle Koeffiziententheorem an.)}
\item Sei $\alpha_1$ ein Erzeuger von $H^2(\C\mathrm{P}^2;\mathbb{Z})$.
Zeigen Sie mit Hilfe der Regularit\"at der Schnittform, dass $\alpha_1\cup\alpha_1$ ein Erzeuger von $H^4(\C\mathrm{P}^2;\mathbb{Z})$ ist.
Weisen Sie damit nach, dass $H^\bullet(\C\mathrm{P}^2;\mathbb{Z})$ als Ring zu $\rquot{\mathbb{Z}[\alpha_1]}{\left(\alpha_1^3\right)}$ isomorph ist.
\item Zeigen Sie durch Induktion \"uber $n$, dass $H^\bullet(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ zu $\rquot{\mathbb{Z}[\alpha]}{\left(\alpha^{n+1}\right)}$ isomorph ist.
\een


\newpage
{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $n\in\mathbb{N}$ beliebig.
\ben\item Bestimmen Sie einen (m\"oglichst expliziten) Erzeuger $\alpha$ von $H^1(\R|0;R)$.
Von hier aus bezeichne $\wit{\alpha}\in H^1(\R^n|\R^{n-1}\setminus\{0\};R)$ ``das'' durch Homotopie\"aquivalenz bestimmte Urbild von $\alpha$.
\item Man akzeptiere folgende Konstruktion ohne Begr\"undung: sind $A,B$ offene Teilmengen eines topologischen Raumes $X$, so kann das Cap-Produkt $H_{p+q}(X,A\cup B;R)\times H^q(X,A;R)\bui{\lra}{\cap}H_p(X,B;R)$ definiert werden (f\"ur alle $p,q$) und ist $R$-bilinear.
Zeigen Sie, dass das Cap-Produkt mit $\wit{\alpha}$ einen $R$-Mo\-dul\-iso\-mor\-phis\-mus $H_n(\R^n|0;R)\lra H_{n-1}(\R^{n-1}|0;R)$ liefert.
\item Sei $U$ eine offene Teilmenge von $\R^n$ mit $0\in U$.
Zeigen Sie die Existenz eines $R$-Mo\-dul\-iso\-mor\-phis\-mus $H_n(U|0;R)\lra H_{n-1}(U\cap(\R^{n-1}\times\{0\})|0;R)$.
\item Sei $V$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit mit Rand.
Leiten Sie aus den obigen Teilaufgaben her, dass jede Orientierung auf $V\setminus\partial V$ eine Orientierung auf $\partial V$ induziert.
\een

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 21.7.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



