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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 30.6.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  9. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}



{\bf Aufgabe 1}\\
Seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume und $f:X\lra Y$ eine eigentliche stetige Abbildung (zur Erinnerung hei\ss{}t $f$ genau dann eigentlich, wenn $f^{-1}(K)$ kompakt ist f\"ur alle Kompakta $K\subset Y$).
Zeigen Sie, dass $f$ einen Modulhomomorphismus $H_c^q(f):H_c^q(Y)\lra H_c^q(X)$ induziert f\"ur alle $q\in\mathbb{Z}$.\\

{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $n\in\mathbb{N}$.
Zeigen Sie, dass es keine orientierungsumkehrende Ho\-mo\-to\-pie\-\"a\-qui\-va\-lenz $\mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}\lra\mathbb{C}\mathrm{P}^{2n}$ gibt.\\
% Sei $X$ eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und $U$ eine nichtleere offene Teilmenge von $X$.
% \ben\item Zeigen Sie die Existenz eines Modulhomomorphismus $H_c^q(U)\lra H_c^q(X)$ f\"ur alle $q\in\mathbb{Z}$.
% \item Angenommen, $X$ sei $R$-orientiert und $U$ trage die induzierte $R$-Ori\-en\-tie\-rung.
% Man bezeichne mit $D$ die Poincar\'e-Dualit\"atsabbildung.
% Zeigen Sie, dass folgendes Diagramm kommutiert (f\"ur alle $q\in\mathbb{Z}$):
% \[\xymatrix{H_c^q(X)\ar[r]^D &H_{n-q}(X)\\  H_c^q(U)\ar[u]\ar[r]^D & H_{n-q}(U)\ar[u]_{H_{n-q}(\iota)}}\]
% wobei $\iota:U\lra X$ die Inklusion bezeichnet.\\
% \een




{\bf Aufgabe 3}\\
Beweisen Sie das Ausschneidungsaxiom in der Homologie mit Hilfe von Proposition 4.15 aus der Vorlesung.\\
% Seien $X$ ein topologischer Raum und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
% \ben\item Seien $\alpha\in S_k(X)$, $\phi\in S^l(X)$ und $\psi\in S^m(X)$ mit $k\geq l+m$.
% Zeigen Sie, dass dann $(\alpha\cap\phi)\cap\psi=\alpha\cap(\phi\cup\psi)$ gilt.
% \item Leiten Sie daraus her, dass $H_{\bullet}(X;R)$ ein Rechts-$H^\bullet(X;R)$-Modul ist.\\
% \een



{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $M$ eine kompakte $3$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
Man nehme an, $H_1(M;\mathbb{Z})=0$.
\ben\item Zeigen Sie, dass $M$ orientierbar ist.
\item Zeigen Sie, dass $M$ eine Homologiesph\"are ist, d.h., alle ganzzahligen Homologiegruppen von $M$ sind isomorph zu den entsprechenden Homologiegruppen der $3$-dimensionalen Sph\"are.
\een
% Sei $Y$ ein Hausdorffscher topologischer Raum und $q\in\mathbb{Z}$ beliebig.
% Zeigen Sie, dass dann $H_c^{q+1}(Y\times\mathbb{R})$ nat\"urlich isomorph zu $H_c^{q}(Y)$ ist.\\
% {\sl (Hinweis: Erstellen Sie eine Version von Lemma 3.12 aus der Vorlesung, in der $Y$ durch $(Y,Y\setminus K)$ ersetzt wird, wobei $K\subset Y$ Kompaktum ist.)}

\newpage
{\bf Aufgabe 5}\\
Sei $M$ eine nichtorientierbare kompakte zusammenh\"angende $n$-di\-men\-sio\-na\-le topologische Mannigfaltigkeit.
\ben\item Sei $m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
Zeigen Sie: $H_n(M;\rquot{\mathbb{Z}}{m})\cong\left\{\begin{array}{ll}\rquot{\mathbb{Z}}{2}&\textrm{ f\"ur }m\textrm{ gerade}\\ 0&\textrm{ f\"ur }m\textrm{ ungerade.}\end{array}\right.$ 
\item Sei $p$ eine Primzahl.
Zeigen Sie mit Hilfe des universellen Koeffiziententheorems, dass $H^n(M;\rquot{\mathbb{Z}}{p})\cong\left\{\begin{array}{ll}\rquot{\mathbb{Z}}{2}&\textrm{ f\"ur }p=2\\ 0&\textrm{ f\"ur }p\neq 2\end{array}\right.$ gilt.
\item Man schreibe $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^{b_{n-1}}\oplus T_{n-1}$, wobei $T_{n-1}\cong\rquot{\mathbb{Z}}{p_1^{\alpha_1}}\oplus\ldots\oplus\rquot{\mathbb{Z}}{p_k^{\alpha_k}}$ der Torsionsanteil von $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ ist.
Zeigen Sie mit Hilfe des universellen Koeffiziententheorems, dass $p_i=2$ f\"ur alle $1\leq i\leq k$ gilt.
\item Zeigen Sie, dass $T_{n-1}\cong\rquot{\mathbb{Z}}{2^{\alpha}}$ gilt f\"ur ein $\alpha\in\mathbb{N}$.\\
\een


{\bf Aufgabe 6}\\
In dieser Aufgabe bezeichne $\chi(\cdot)$ die Euler-Charakteristik.
\ben\item Zeigen Sie, dass $\chi(M)=0$ f\"ur jede kompakte orientierbare un\-ge\-ra\-de\-di\-men\-sio\-na\-le topologische Mannigfaltigkeit $M$ gilt.\\
{\sl (Hinweis: Poincar\'e-Dualit\"at!))}
\item Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex und $\wih{X}\lra X$ eine $k$-fache \"Uberlagerung f\"ur ein $k\in\mathbb{N}$.
Zeigen Sie, dass $\chi(\wih{X})=k\cdot\chi(X)$ gilt.\\
{\sl (Hinweis: konstruieren Sie eine CW-Struktur auf $\wih{X}$.)}
\item Zeigen Sie, dass $\chi(M)=0$ f\"ur jede kompakte nichtorientierbare un\-ge\-ra\-de\-di\-men\-sio\-na\-le topologische Mannigfaltigkeit $M$ gilt.\\
{\sl Man akzeptiere ohne Beweis, dass jede kompakte topologische Mannigfaltigkeit die Struktur eines endlichen CW-Komplexes zul\"asst.}
\item Sei von hier aus $M$ eine nichtorientierbare kompakte zusammenh\"angende $3$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
Leiten Sie aus der letzten Teilaufgabe her, dass $H_1(M;\mathbb{Q})\neq 0$ gilt.
\item Folgern Sie, dass $H_1(M;\mathbb{Z})$ und $\pi_1(M)$ unendlich sind.\\
{\sl (Hinweis: nutzen Sie und beweisen Sie $\left(\rquot{\pi_1(M)}{[\pi_1(M),\pi_1(M)]}\right)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\cong H_1(M;\mathbb{Q})$.)}
\een
% {\bf Aufgabe }\\
% Seien $X$ und $Y$ unendliche diskrete Mengen. 
% Zeigen Sie, dass dann das Kreuzprodukt $H^{\bullet}(X;\mathbb{Z})\times H^{\bullet}(Y;\mathbb{Z})\bui{\lra}{\times}H^{\bullet}(X\times Y;\mathbb{Z})$ kein Modulisomorphismus ist.\\

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 14.7.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



