\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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\def \be{\begin{eqnarray*}}
\def \ee{\end{eqnarray*}}
\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def \ligne{\noindent \rule{\textwidth}{0.5mm} \\}
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\let\al\alpha
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\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
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\let\setminus\smallsetminus

\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 17.6.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  7. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
Zeigen Sie für $\sigma\in s_{p+q}(X)$ und $c\in S^p(X)$:
  $$\pa (\si \cap c)=(-1)^p \Big( (\pa \si) \cap c - \si  \cap \de c\Big).$$

{\bf Aufgabe 2}
\ben\item Sei $\R\mathrm{P}^n\bui{\lra}{f}\R\mathrm{P}^m$ eine stetige Abbildung.
Zeigen Sie mit Hilfe des Cup-Produkts: gilt $n>m$, so verschwindet $H^1(f;\mZ/_2):H^1(\R\mathrm{P}^m;\mathbb{Z}/_2)\lra H^1(\R\mathrm{P}^n;\mathbb{Z}/_2)$.
Leiten Sie daraus her, dass $H^q(f;\mZ/_2)=0$ f\"ur alle $1\leq q\leq m$ gilt.
\item Formulieren Sie und beweisen Sie eine \"ahnliche Aussage f\"ur eine stetige Abbildung $\C\mathrm{P}^n\lra\C\mathrm{P}^m$.\\
{\sl (Hinweis: betrachten Sie $H^2(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$.)}
\een

{\bf Aufgabe 3}\\
F\"ur $d\in\mathbb{N}$ bezeichne $f_d:\C\mathrm{P}^n\lra\C\mathrm{P}^n$, $[z_0:\cdots:z_n]\lra[z_0^d:\cdots:z_n^d]$.
\ben\item Zeigen Sie, dass $f_d$ wohldefiniert und stetig ist.
\item Bestimmen Sie den Ringhomomorphismus $H^*(f_d):H^*(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})\lra H^*(\C\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$.\\
{\sl (Hinweis: fangen Sie mit dem Fall $n=1$ an.)}
\een

%{\bf Aufgabe 3}\\
%Seien $m,n\in\mathbb{N}$ beliebig mit $m,n\geq 1$.
%Zeigen Sie mit Hilfe des Cup-Produkts, dass jede stetige Abbildung $S^{m+n}\lra% S^m\times S^n$ einen trivialen $\mathbb{Z}$-Modulhomomorphismus $H_{m+n}(S^{m+%n};\mathbb{Z})\lra H_{m+n}(S^m\times S^n;\mathbb{Z})$ induziert.\\
 

{\bf Aufgabe 4}\\
F\"ur ein topologisches Paar $(X,A)$ und $p,q\in\mathbb{Z}$ sei $a\in H_{p+q}(X,A)$ beliebig.
Zeigen Sie, dass $(a\cap \cdot)\circ H^p(j)=H_q(j)\circ (a\cap\cdot)$ gilt, wobei $j:(X,\varnothing)\lra(X,A)$ die Inklusion bezeichnet.\\

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Mittwoch 22.6.2011 bis 12.30 Uhr bei Frau Bonn}.\\



\end{document}



