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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 9.6.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  6. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}


{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $f:(X,A)\lra(X',A')$ ein Homomorphismus von topologischen Paaren (d.h., $f:X\lra X'$ ist stetig mit $f(A)\subset A'$).
Zeigen Sie, dass dann $H^*(f):H^*(X',A')\lra H^*(X,A)$ ein Ringhomomorphismus ist.\\

{\bf Aufgabe 2}
\ben\item Berechnen Sie die $\mathbb{Z}/_2$-Kohomologie von $\R\mathrm{P}^2\vee S^3$.
\item Zeigen Sie mit Hilfe des Cup-Produkts, dass $\R\mathrm{P}^2\vee S^3$ und $\R\mathrm{P}^3$ nicht homotopie\"aquivalent zueinander sind.
\een

{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $M_g$ eine geschlossene orientierbare Fl\"ache vom Geschlecht $g$.
Ziel der Aufgabe ist es, den $\mathbb{Z}$-Kohomologiering $H^*(M_g;\mathbb{Z})$ zu bestimmen.
\ben\item Zeigen Sie: ist $X$ ein topologischer Raum mit $X=\coprod_{i\in I}X_i$, so sind die Ringe $H^*(X)$ und $\prod_{i\in I}H^*(X_i)$ isomorph.
\item Zeigen Sie, dass $H^1(M_g;\mathbb{Z})$ als $\mathbb{Z}$-Modul zu $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\pi_1(M_g),\mathbb{Z})$ isomorph ist. 
\item Man schreibe $M_g$ als zusammenh\"angende Summe von $g$ Tori, $M_g=\mathbb{T}^2\sharp\cdots\sharp\,\mathbb{T}^2$.
F\"ur jedes $1\leq i\leq g$ sei $f_i:M_g\lra\mathbb{T}^2$ die Abbildung, die den $i$-ten Henkel auf sich selber und dessen Komplement auf einen Punkt abbildet.
Zeigen Sie, dass $H^1(f_i;\mZ):H^1(\mathbb{T}^2;\mathbb{Z})\lra H^1(M_g;\mathbb{Z})$ ein injektiver $\mathbb{Z}$-Modulhomomorphismus ist.
{\sl (Hinweis: benutzen Sie das Ausschneidungsaxiom, das Homotopieaxiom und geeignete lange exakte Kohomologiesequenzen.) }
\item Zeigen Sie: $H^1(M_g;\mathbb{Z})= \bigoplus_{i=1}^g \im H^1(f_i;\mZ)$
{\sl (Hinweis: Nutzen Sie den Isomorphismus in (b), seine Natürlichkeit bez\"uglich der Abbildung $f_i$ und die bereits bekannte Struktur von $\pi_1(M_g)$.) }
\een

\newpage
{\bf Aufgabe 4} [{\sl Fortsetzung Aufgabe 3}]
\ben
\item Zeigen Sie, dass $H^2(f_i;\mZ)$ für alle $i$ ein Isomorphismus ist.\\
{\sl (Hinweis: Man zeige zunächst, dass  $H_2(f_i;\mZ)$ bijektiv ist, indem 
man zweimal geschickt ausschneidet und die Tatsache nutzt, dass $M_g$ entlang 
beliebiger Teilmengen orientierbar ist.) }
\item Sei $\alpha\in  \im H^1(f_i;\mZ)$, $\beta\in  \im H^1(f_j;\mZ)$, 
$i\neq j$. Berechnen Sie $\al\cup\beta$.
\item Leiten Sie die Ringstruktur von $H^*(M_g;\mathbb{Z})$ daraus her.
\item Wenn wir Basen von $H^2(M_g;\mZ)$ und $H^1(M_g;\mZ)$ wählen, so wird
$\cup: H^1(M_g;\mZ)\times H^1(M_g;\mZ)\to H^2(M_g;\mZ)$ durch eine Matrix 
dargestellt. Berechnen Sie deren Determinante. Wie stark h\"angt 
diese Determinante von der Wahl der obigen Basen ab? 
\item {\sl (knifflig aber recht elementar)}\\
Sei $A\in {\rm GL}(n,\mZ)$ schiefsymmetrisch mit ${\rm det}\; A=1$. Dann stellt 
$A$ das Cup-Produkt einer geschlossenen 
orientierbaren Fl\"ache im Sinne von Teilaufgabe (d) dar.
\een

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 16.6.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



