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\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\ti\tilde
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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 1.6.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  5. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}


{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $X$ ein topologischer Raum und $0\lra R_1\lra R_2\lra R_3\lra 0$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen.
\ben\item  Zeigen Sie, dass eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $0\lra S_\bullet(X,R_1)\lra S_\bullet(X,R_2)\lra S_\bullet(X,R_3)\lra 0$ existiert.
\item Leiten Sie daraus her, dass f\"ur jedes $q\in\mathbb{Z}$ ein Gruppenhomomorphismus $\beta_q:H_q(X,R_3)\lra H_{q-1}(X,R_1)$ so existiert, dass die lange Sequenz 
\[\hspace{-0.5cm}\ldots\lra H_q(X,R_1)\lra H_q(X,R_2)\lra H_q(X,R_3)\bui{\lra}{\beta_q}H_{q-1}(X,R_1)\lra\ldots\]
exakt ist.
\item Gibt es eine \"ahnliche Konstruktion in Kohomologie? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\een



{\bf Aufgabe 2}\\
F\"ur $n\in\mathbb{N}$, $n\geq 2$ bezeichne $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ den $n$-dimensionalen reellprojektiven Raum.
Mittels simplizialer Homologie und der Darstellung $\mathbb{R}\mathrm{P}^n=\mathbb{R}\mathrm{P}^{n-1}\cup_f D^n$ (siehe Topologie I) kann man die ganzzahlige singul\"are Homologie von $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ berechnen: sie ist gegeben durch
\[ H_q(\mathbb{R}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})=\left\{\begin{array}{ll}
   \mathbb{Z}&\textrm{f\"ur }q=0\\ 
   \mathbb{Z}&\textrm{f\"ur }q=n\textrm{ ungerade}\\ 
   \mathbb{Z}/_2&\textrm{f\"ur }0<q<n,\,q\textrm{ ungerade}\\ 
    0&\textrm{sonst.}
\end{array}
\right.\]
\ben\item Bestimmen Sie $\mathrm{Ext}_{\mathbb{Z}}(M,N)$ f\"ur $M,N\in\{\mathbb{Z},\mathbb{Z}/_2\}$.
\item Bestimmen Sie $H^q(\mathbb{R}\mathrm{P}^n,\mathbb{Z})$.
\item Bestimmen Sie $H^q(\mathbb{R}\mathrm{P}^n,\mathbb{Z}/_2)$ und $H_q(\mathbb{R}\mathrm{P}^n,\mathbb{Z}/_2)$.
\een

% Sei $X$ ein topologischer Raum und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
% Man w\"ahle ein beliebiges $\theta\in Z^1(X;R)$.
% F\"ur zwei stetige Abbildungen $\gamma,\gamma':[0,1]\lra X$ mit $\gamma(1)=\gamma'(0)$ bezeichne $\gamma\cdot\gamma'$ die Zusammensetzung der beiden Pfade (siehe Topologie I). 
% \ben\item[1.] Zeigen Sie:
% \ben\item Sind $\gamma_1,\gamma_2:[0,1]\lra X$ stetige Pfade mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$, so gilt $\theta(\gamma_1\cdot\gamma_2)=\theta(\gamma_1)+\theta(\gamma_2)$.
% \item Ist $\gamma:[0,1]\lra X$ konstant, so gilt $\theta(\gamma)=0$.
% \item Sind $\gamma_1,\gamma_2:[0,1]\lra X$ zueinander homotope stetige Pfade mit festen Endpunkten, so gilt $\theta(\gamma_1)=\theta(\gamma_2)$.
% \item Das Element $\theta$ is genau dann ein Korand, wenn f\"ur alle stetigen Pfade $\gamma:[0,1]\lra X$ der Wert $\theta(\gamma)$ nur von den Endpunkten $\gamma(0)$ und $\gamma(1)$ abh\"angt.
% \een
% \item[2.] Leiten Sie daraus her, dass ein $R$-Modulhomomorphismus $H^1(X;R)\lra\mathrm{Hom}_R(\pi_1(X),R)$ existiert, welcher ein Isomorphismus ist, sobald $X$ weg\-zu\-sam\-men\-h\"an\-gend ist.
% \een

{\bf Aufgabe 3}\\
Man betrachte $\mathbb{Z}_2$ als $\mathbb{Z}_4$-Modul.
\ben\item Konstruieren Sie eine Aufl\"osung von $\mathbb{Z}_2$ durch freie $\mathbb{Z}_4$-Moduln.
\item Leiten Sie daraus her, dass $\mathrm{Ext}_{\mathbb{Z}_4}^q(\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2)\neq 0$ f\"ur alle $q$ gilt.
\een

\newpage
{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $X$ ein topologischer Raum und $\delta:S^\bullet(X)\lra S^{\bullet+1}(X)$ die Korandabbildung.
Beweisen Sie folgende Eigenschaften des Cup-Produktes $\cup$:
\ben\item Das Cup-Produkt ist assoziativ.
\item F\"ur alle $\alpha\in S^p(X)$ und $\beta\in S^q(X)$ gilt $\delta(\alpha\cup\beta)=(\delta\alpha)\cup\beta+(-1)^p\alpha\cup(\delta\beta)$.
\een

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 9.6.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



