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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 26.5.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  4. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}


{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $X$ ein topologischer Raum und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
\ben\item Es bezeichne $(X_i)_{i\in I}$ die Menge der Wegzusammenhangskomponenten von $X$.
Zeigen Sie f\"ur jedes $q$ die Existenz eines R-Modulisomorphismus $H^q(X;R)\lra\prod_{i\in I} H^q(X_i;R)$.
\item Zeigen Sie: ist $X$ nichtleer und wegzusammenh\"angend, so gelten $H^0(X;R)\cong R$ und $H^0(X,A;R)=0$ f\"ur jede nichtleere Teilmenge $A$ von $X$.
\een

{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $(X,A)$ ein topologisches Paar mit $A\neq \varnothing$ 
und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
Man w\"ahle einen beliebigen Punkt $p\in X$ und definiere 
die $R$-Moduln $H^{q\,\sharp}(X;R)$ und $H^{q\,\sharp}(X,A;R)$ durch
\[H^{q\,\sharp}(X;R):=\left\{\begin{array}{ll}H^{q}(X;R)&\textrm{ f\"ur }q\neq 0\\\rquot{H^0(X;R)}{\mathrm{Im}(H^0(\pi))}&\textrm{ f\"ur }q=0\end{array}\right. \]
bzw. $H^{q\,\sharp}(X,A;R):=H^q(X,A;R)$, 
wobei $H^0(\pi):H^0(\{p\};R)\lra H^0(X;R)$ der von der konstanten Abbildung $X\bui{\lra}{\pi}\{p\}$ 
induzierte Modulhomomorphismus ist.
Geben Sie die dazu geh\"orige lange exakte Kohomologiesequenz an, 
und beweisen Sie, dass es eine exakte Sequenz ist.\\


{\bf Aufgabe 3}\\
Zeigen Sie: jeder topologische Tripel $(X,B,A)$ induziert eine lange exakte Kohomologiesequenz
\[\ldots\lra H^q(X,B)\lra H^q(X,A)\lra H^q(B,A)\lra H^{q+1}(X,B)\lra\ldots\]

{\bf Aufgabe 4}\\
Seien $X_1,X_2$ offene Teilmengen eines topologischen Raumes $X$.
Beweisen Sie die Existenz einer langen exakten Kohomologiesequenz
\[\hspace{-0.8cm}\ldots\lra H^q(X_1\cup X_2)\lra H^q(X_1)\oplus H^q(X_2)\lra H^q(X_1\cap X_2)\lra H^{q+1}(X_1\cup X_2)\lra\ldots\]
{\sl (Hinweis: zeigen Sie, dass die Inklusion $(X_2,X_1\cap X_2)\lra(X_1\cup X_2,X_1)$ eine Ausschneidung ist.)}
\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Mittwoch 1.6.2011} bis 12 Uhr bei Frau Bonn (M217)}.\\



\end{document}



