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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
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\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
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\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 19.5.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  3. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}


{\bf Aufgabe 1} {\it (Orientierungsvergleich Differentialgeometrie und Topologie)}
\ben 
\item Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von ${\rm GL}(n,\mR)$.
\item Die Gruppe ${\rm GL}(n,\mR)$ operiert mit der üblichen Multiplikation
auf dem topologischen Paar
$(\mR^n,\mR^n\setminus\{0\})$. Bestimmen Sie die davon induzierte
Operation von  ${\rm GL}(n,\mR)$ auf $H_n(\mR^n,\mR^n\setminus\{0\};R)$.
\item Für einen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum~$V$ sei $\rm{Or}(V)$ die 
Menge der Zusammenkomponenten von $(\Lambda^n V)\setminus\{0\}$.
Konstruieren Sie nun f\"ur jeden solchen Raum~$V$
einen Isomorphismus von ${\rm Or}(V)$ auf die Erzeuger
von  $H_n(V,V\setminus\{0\};\mZ)$. Dieser Isomorphismus soll natürlich sein 
in dem Sinne, dass jeder Isomorphismus $f:V\to \witi V$ 
ein kommutierendes Diagramm
\[\xymatrix{\rm{Or}(V) \ar[r]\ar[d]&\rm{Or}(\witi V)]\ar[d]\\
H_n(V,V\setminus\{0\};\mZ) \ar[r]& H_n(\witi V,\witi V\setminus\{0\};\mZ)
}\]
induziert.
\een

{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $X$ eine kompakte zusammenh\"angende $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie: ist der von der Inklusion 
$(X,\varnothing)\lra(X,X\setminus\{x\})$ induzierte Modulhomomorphismus 
$H_n(X)\bui{\lra}{\mu_X^x} H_n(X,X\setminus\{x\})$ ein Isomorphismus 
f\"ur ein $x\in X$, so ist es ein Isomorphismus f\"ur alle $x\in X$ und 
$X$ ist orientierbar.\\

{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $X$ eine $n$-dimensionale kompakte topologische Mannigfaltigkeit. Zu einem
Punkt $x_0\in X$ wählen wir einen Homöomorphismus $\phi:U\to \mR^n$, 
$U$ offene Umgebung von $x_0$, $\phi(x_0)=0$.

Sei $S:=\phi^{-1}(S^{n-1})$ der Rand des sch\"onen Balls 
$B=\phi^{-1}(B^n)$. Sei $\psi$ ein Homöomorphismus von 
$D^n=\overline{B^n}$ auf den 
Standard-Simplex $\Delta^n$.
\ben\item Zeigen Sie, dass $\si:=(\psi\circ \phi|_{\ol{B}})^{-1}
\in s_n(\ol B)\subset S_n(\ol B)$ 
einen Erzeuger von $H_n(\ol B, S)$ und $\pa \si$ einen Erzeuger 
von~$H_{n-1}(S)$ repräsentiert.
\item 
Angenommen die von der Inklusion induzierte Abbildung 
$H_{n-1}(S)\lra H_{n-1}(X\setminus B)$ sei der Nullhomomorphismus.
Zeigen Sie die Existenz von $z\in S_n(X\setminus B)$ mit $\pa\si=\pa z$.
\item Wir setzen $w:=\sigma-z$. Definieren Sie mit Hilfe der Klasse 
$[w]\in H_n(X)$ eine Orientierung auf $X$.
\een

%Zeigen Sie: $X$ ist genau dann $\mathbb{Z}$-orientierbar, wenn der von der Inklusion $S\lra X\setminus B$ induzierte Modulhomomorphismus $H_{n-1}(S;\mathbb{Z})\lra H_{n-1}(X\setminus B;\mathbb{Z})$ trivial ist.


{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit $n\geq 2$ und $x\in X$ ein Punkt.
Zeigen Sie: $X$ ist genau dann orientierbar, wenn $X\setminus\{x\}$ orientierbar ist.

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 26.5.2011} vor der Vorlesung}.\\



\end{document}



