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\def\lala{\langle\!\langle}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 12.5.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  2. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $M\bui{\lra}{f}N\bui{\lra}{g}P\lra0$ eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
F\"ur einen $R$-Modul $L$ bezeichne $L^*:=\mathrm{Hom}_R(L,R)$ den dualen Modul.
\ben\item Zeigen Sie, dass die duale Sequenz $0\lra P^*\bui{\lra}{g^*}N^*\bui{\lra}{f^*}M^*$ ebenfalls exakt ist. 
Hierbei ist $f^*(\theta)=\theta\circ f$ f\"ur alle $\theta\in N^*$ (analoge Definition f\"ur $g^*$). 
\item Sei $n\in\mathbb{N}$.
Bestimmen Sie die zur kurzen exakten Sequenz $0\lra\mathbb{Z}\bui{\lra}{n\cdot\mathrm{Id}}\mathbb{Z}\bui{\lra}{\mathrm{Proj.}}\rquot{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\lra0$ geh\"orige duale Sequenz und zeigen Sie, dass sie nicht exakt ist.
\een

{\bf Aufgabe 2}\\
Seien $X_1,X_2$ offene Teilmengen eines topologischen Raumes $X$.
\ben\item Zeigen Sie, dass die Inklusionen $(X_1,X_1\cap X_2)\lra(X_1\cup X_2,X_2)$ und $(X_2,X_1\cap X_2)\lra(X_1\cup X_2,X_1)$ Ausschneidungen sind (d.h., die in Homologie induzierten Modulhomomorphismen sind Isomorphismen).
\item Bestimmen Sie die zu den Tripeln $\mathcal{T}_1:=(X,X_1,X_1\cap X_2)$ und $\mathcal{T}_2:=(X,X_1\cup X_2,X_2)$ geh\"origen langen exakten Homologiesequenzen und zei\-gen Sie, dass die Inklusion $\mathcal{T}_1\lra\mathcal{T}_2$ einen Morphismus von Kettenkomplexen zwischen diesen langen exakten Sequenzen definiert.
\item Nutzen Sie das Barratt-Whitehead-Lemma (siehe Aufgabe 3 im Blatt 13 aus der Topologie I), um eine lange exakte Sequenz
\[\hspace{-2cm}\ldots\rightarrow H_q(X,X_1\cap X_2)\rightarrow H_q(X,X_1)\oplus H_q(X,X_2)\rightarrow H_q(X,X_1\cup X_2)\rightarrow H_{q-1}(X,X_1\cap X_2)\rightarrow\ldots\]
zu konstruieren.
{\sl Diese Sequenz hei\ss{}t die zur Triade $(X,X_1,X_2)$ geh\"orige relative Mayer-Vietoris-Sequenz.}
\een

{\bf Aufgabe 3}\\
%Schreiben Sie den reellprojektiven Raum $\R\mathrm{P}^n$ als CW-Komplex in derart, dass der entsprechende zellul\"are Komplex folgenderma\ss{}en aussieht:
Sei $X$ eine $n$-dimensionale zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit 
und $k\in\mathbb{N}$, $k> 2$.
Man nehme an, $X$ trage eine $\rquot{\mathbb{Z}}{k\mathbb{Z}}$-Orientierung.
\ben\item Wie in der Vorlesung bezeichne $X_R\bui{\lra}{\pi_R} X$ die \"Uberlagerung mit Fasern $\pi_R^{-1}(\{x\})=H_n(X,X\setminus\{x\};R)$ (f\"ur einen kommutativen Ring mit Eins $R$) und $\wit{X}\lra X$ die $\mathbb{Z}$-Orientierungs\"uberlagerung.
Zeigen Sie, dass die Verkettung der nat\"urlichen Abbildungen $\wit{X}\lra X_{\mathbb{Z}}\lra X_{\rquot{\mathbb{Z}}{k\mathbb{Z}}}$ injektiv ist und mit den Projektionen kommutiert.
\item  Leiten Sie daraus her, dass $\wit{X}$ nicht zusammenh\"angend ist und dass $X$ dann $\mathbb{Z}$-orientierbar ist.
\een

{\bf Aufgabe 4}\\
%Ex. 22.44 S.173 in Greenberg-Harper?
Sei $G$ eine topologische Gruppe, die gleichzeitig eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
Ziel der Aufgabe ist es, zu zeigen, dass $G$ dann $R$-orientierbar ist.
\ben
\item Sei $e\in G$ das neutrale Element und $L_g:G\lra G$, $h\lmt gh$ die zu einem Element $g\in G$ geh\"orige Linksverschiebung in $G$.
Man fixiere einen Erzeuger $\mu\in H_n(G,G\setminus\{e\};R)$.
Zeigen Sie, dass die Abbildung $o:G\lra\buil{\coprod}{g\in G}H_n(G,G\setminus\{g\};R)$, $g\lmt H_n(L_g)(\mu)$ wohldefiniert ist und dass $o(g)$ eine lokale
$R$-Orientierung von $G$ in $g$ ist f\"ur alle $g\in G$.
\item Sei $B$ ein sch\"oner Ball um $e$.
Zeigen Sie die Existenz eines sch\"onen Balles $\wit{B}$ um $e$ mit $\{g^{-1}h\,|\, g,h\in\}\wit{B}\}\subset B$.
\item 
Zeigen Sie, dass das Diagramm
\[\xymatrix{(G,G\setminus B)\ar[r]^{Inkl.}\ar[d]^{\mathrm{Id}}&(G,G\setminus\wit{B})\ar[r]^{Inkl.}&(G,G\setminus\{e\})\ar[d]^{L_g}\\
(G,G\setminus B)\ar[r]^{L_g}&(G,G\setminus\wit{B})\ar[r]^{Inkl.}&(G,G\setminus\{g\})}\]
wohldefiniert ist und kommutiert.
\item Sei $\gamma:[0,1]\lra\wit{B}$ eine stetige Abbildung mit $\gamma(0)=e$ und $\gamma(1)=g$.
Zeigen Sie, dass der induzierte Homomorphismus $H_n(L_{\gamma(t)}):H_n(G,G\setminus B;R)\lra H_n(G,G\setminus\wit{B};R)$ nicht von $t$ abh\"angt.
\item Leiten Sie daraus her, dass $o$ die lokale Konsistenzbedingung erf\"ullt.
\een

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 19.5.2011} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



