\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%%%%%%%%%
% Deutsch
%%%%%%%%%%
\usepackage{ngerman}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

%%%
\usepackage{latexsym,amssymb,amsmath}
%\usepackage{mltex}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{amstext}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
\usepackage{enumerate}
\parindent0mm

\frenchspacing
%\vfuzz=2pt \hfuzz=2pt
\def \be{\begin{eqnarray*}}
\def \ee{\end{eqnarray*}}
\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
\def \bfll{\begin{flushleft}}
\def \efll{\end{flushleft}}
\def \bflr{\begin{flushright}}
\def \eflr{\end{flushright}}
\def \ligne{\noindent \rule{\textwidth}{0.5mm} \\}
\def \findemo{\hfill$\square$\\}
\def \fintdemo{\hfill$\surd$\\}
\def \grad{\mathop{\mathrm{grad}}}
\def \diam{\mathop{\mathrm{diam}}}
\def \ker{\mathop{\mathrm{ker}}}
\def \im{\mathop{\mathrm{im}}}
\def \injrad{\mathop{\mathrm{injrad}}}
\def \lra{\longrightarrow}
\def \lmt{\longmapsto}
\def \ovl{\overline}
\def \udl{\underline}
\def \wih{\widehat}
\def \wit{\widetilde}
\def \wnabla{\wit{\nabla}}
\def \cdotM{\buil{\cdot}{M}}
\def \diag{\mathrm{diag}}
\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \ric{\mathrm{ric}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
\def \SU{\mathrm{SU}}
\def \su{\mathfrak{su}}
\def \Sym{\mathrm{Sym}}
\def \tr{\mathrm{tr}}
\def \T{\mathrm{T}}
\def \lala{\langle\!\langle}
\def \rara{\rangle\!\rangle}

\def\End{\mathop\mathrm{End}}

\def\cC{\mathcal{C}}
\def\cF{\mathcal{F}}
\def\cK{\mathcal{K}}
\def\cS{\mathcal{S}}

\def\mR{\mathbb{R}}
\def\mC{\mathbb{C}}
\def\mZ{\mathbb{Z}}
\def\mN{\mathbb{N}}

\let\R\mR
\let\C\mC

\newcommand{\lquot}[2]{\raisebox{-0.5ex}{$#2$}\backslash\!\raisebox{0.5ex}{$#1$}}
\newcommand{\rquot}[2]{\raisebox{0.5ex}{$#1$}\!/\!\raisebox{-0.5ex}{$#2$}}
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}
%\pa{argument}
\newcommand{\page}[1]{\ind \begin{minipage}[t]{15cm} #1 \end{minipage}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\mnote}[1]{\marginpar{\tiny\em #1}}

\newtheorem{ethm}{Theorem}[section]
\newtheorem{edefi}[ethm]{Def\mbox{}inition}
\newtheorem{elemme}[ethm]{Lemma}
\newtheorem{erem}[ethm]{Note}
\newtheorem{erems}[ethm]{Notes}
\newtheorem{ecor}[ethm]{Corollary}
\newtheorem{prop}[ethm]{Proposition}
\newtheorem{eexemple}[ethm]{Example}
\newtheorem{eexemples}[ethm]{Examples}
\setlength{\textheight}{247mm}
%\setlength{\oddsidemargin}{-20mm}
%\setlength{\evensidemargin}{-20mm} \setlength{\textwidth}{200mm}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}

\let\al\alpha
\let\de\delta
\let\ep\epsilon
\let\ga\gamma
\let\la\lambda
\let\si\sigma

\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
\def \SU{\mathrm{SU}}
\def \su{\mathfrak{su}}
\def \Sym{\mathrm{Sym}}
\def \tr{\mathrm{tr}}
\def \T{\mathrm{T}}

\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial
\let\setminus\smallsetminus

\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universit\"at Regensburg, Mathematik\hfill SS 2011\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 5.5.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux\\

\begin{center}
{\bf Topologie II \\
  1. \"Ubungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
\def\ROR#1{\mathop{Or}\nolimits_R(#1)}
Sei $X$ eine 
topologische Mannigfaltigkeit. 
\ben
\item[(a)]Angenommen $X$ ist $R$-orientierbar und $U$ ist 
eine offene Teilmenge von $X$. Zeigen Sie, dass dann $U$ 
ebenfalls $R$-orientierbar ist.
\item[(b)]Seien $(X_i)_{i\in I}$ die Zusammenhangskomponenten von $X$.
Sei $\ROR X$ bzw. $\ROR {X_i}$ die Menge aller 
$R$-Orientierungen  von $X$ bzw. $X_i$. 
 Konstruieren Sie eine Bijektion 
 $$\ROR X\to \prod_{i\in I} \ROR{X_i}.$$
\item[(c)] Angenommen $X$ ist zusammenhängend und $\pi_1(X)$ besitzt keine 
Untergruppe vom Index~$2$.
Zeigen Sie, dass $X$ dann $\mathbb{Z}$-orientierbar ist.
\een

{\bf Aufgabe 2}\\
F\"ur $n\geq 1$ bezeichne $\sigma_n:\Delta^n\lra S^n=\rquot{\Delta^n}{\partial\Delta^n}$ die Quotientenabbildung. Das Bild von $\partial\Delta^n$ sei der Basispunkt $p$.
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
Zeigen Sie, dass $\sigma_n$ einen Erzeuger von 
$H_n(S^n,\{p\};R)$ repräsentiert.\\
{\sl (Hinweis: Ein Erzeuger von $H_1(S^1;R)\cong H_1(S^1,\{p\};R)$ wurde 
in Top. I, Lemma 6.9 bestimmt. Bestimmen 
Sie nun Erzeuger von $H_1(D^2,S^1;R)$, von $H_1(S^2,D^2_-;R)$, 
von $H_2(S^2,\{p\};R)$, u.s.w.)}\\

{\bf Aufgabe 3}\\
Stellen Sie den topologischen Raum $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ als CW-Komplex dar und berechnen Sie seine zellul\"are Homologie.\\[3cm]
{\it Bitte wenden!}

\pagebreak
{\bf Aufgabe 4}\\[2mm]
Sei $\witi{X}\bui{\lra}{\pi}X$ eine normale \"Uberlagerung einer $n$-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit $X$ und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
\ben\item Zeigen Sie f\"ur alle $x\in \witi{X}$ die Existenz eines $R$-Modul-Isomorphismus 
$H_n(\witi{X},\witi{X}\setminus\{x\};R)\bui{\lra}{\phi_x} H_n(X,X\setminus\{\pi(x)\};R)$, so dass $\phi_{\gamma(x)}\circ H_n(\gamma)=\phi_x$ f\"ur alle Decktransformationen $\gamma$ von $\pi$ gilt.
\item Zeigen Sie: hat $\witi{X}$ eine $\mathbb{Z}$-Orientierung $\hat{\mu}$, so hat $X$ ebenfalls eine $\mathbb{Z}$-O\-rien\-tie\-rung, sobald alle Decktransformationen von $\pi$ die Orientierung von $\witi{X}$ erhalten, d.h. (in den obigen Bezeichnungen), falls $H_n(\gamma)(\hat{\mu}_x)=\hat{\mu}_{\gamma(x)}$ f\"ur alle $x\in X$ gilt.
\item {\sl Anwendung}: Ziel dieser Teilaufgabe ist es, zu zeigen, dass $\R\mathrm{P}^n$ mit $n$ ungerade $\mathbb{Z}$-orientierbar ist.
\ben\item[i)] Zeigen Sie, dass f\"ur jedes $p\in S^n$ die Inklusion $(S^n,\varnothing)\subset(S^n,S^n\setminus\{p\})$ einen Isomorphismus von $R$-Moduln $H_n(S^n)\lra H_n(S^n,S^n\setminus\{p\})$ induziert.
\item[ii)] Zeigen Sie, dass die Antipodenabbildung $a=-\mathrm{Id}_{S^n}$ homotop zu $\mathrm{Id}_{S^n}$ ist, falls $n$ ungerade ist.
\item[iii)] Folgern Sie aus den beiden ersten Teilaufgaben, dass $\R\mathrm{P}^n$ mit $n$ ungerade $\mathbb{Z}$-orientierbar ist.
\een
\een

\vskip1cm
{\sl Abgabe der L\"osungen:
\textbf{Donnerstag 12.5.2011} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



