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\begin{document}
\pagestyle{empty}
Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 27.1.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  13. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}

{\bf Aufgabe 1}\\
Ein topologisches Paar $(X,A)$ wird gutes Paar genannt, falls $A$ abgeschlossen ist und $A$ eine offene Umgebung $V$ in $X$ besitzt, so dass $A$ ein 
(starker) Deformationsretrakt von $V$ ist.
Zeigen Sie, dass für solche $A\subset V\subset X$ gilt: 
\ben
\item Die Inklusion $(X,A)\to (X,V)$ induziert einen Isomorphismus
$H_q(X,A)\to H_q(X,V)$ für alle $q\in \mZ$. {\em (Hinweis: Lange exakte Sequenz von Tripeln, d.h. Aufgabe 2 vom 12. Übungsblatt.}
\item Die Inklusion $(X\setminus A ,V\setminus A)\to (X,V)$ 
induziert einen Isomorphismus
$H_q(X\setminus A,V\setminus A)\to H_q(X,V)$ für alle $q\in \mZ$. 
\een
Sei nun $X$ ein CW-Komplex und $A$ ein Unter-CW-Komplex. 
\ben
\setcounter{enumi}{2}
\item Zeigen Sie, dass dann $(X,A)$ ein gutes topologisches Paar ist.
\item Der Quotientenraum $\rquot XA$ ist wiederum ein CW-Komplex.
\een
Es reicht, wenn Sie die Aufgabe für endliche CW-Komplexe lösen.\\
\smallskip

{\bf Erinnerungen/Definition zu CW-Komplexen}\\
Man beachte hierbei, dass ein CW-Komplex $X$ ein topologischer Raum ist,
versehen mit der Zusatz-Information, wie er sich aus Zellen verschiedener 
Dimension zusammensetzt.
Ein Unter-CW-Komplex $A$ ist ein topologischer Unterraum von $X$, der eine 
Vereinigung von Zellen von $X$ ist. Siehe Hatcher Seite 5--7 für Details.
Die Tatsache, dass die CW-Strukturen von $X$ und $A$ in diesem Sinne
kompatibel sind, erleichtert den obigen Beweis.\\
Die Dimension eines CW-Komplex ist das Supremum der Dimensionen der Zellen
des CW-Komplex. Endliche CW-Komplexe sind also immer 
endlich-dimensional.\\


%Wie in der Vorlesung I.6 erklärt, entsteht ein CW-Komplex durch sukzessives 
%Anheften von $k$-Zellen ($k$-dimensionale abgeschlossene Kreisscheiben) 
%an eine diskrete Menge $X_0$. Der Rand wird hierbei mit einer stetigen 
%angehefteten Zellen niederer Dimension abgebildet und danach identifiziert.
%Zu jeder angehefteten $k$-Zelle gibt es somit eine
%Abbildung $f:D^k\to X$, die auf dem offenen Einheitsball $B^k\subset D^k$ 
%injektiv ist.
%Ein CW-Komplex $X$ besteht dann aus dem so erhaltenen
%topologischen Raum {\bf und} und der Zerlegung in Zellen 
%(d.h. der Gesamtheit der Abbildungen der Form $D^k\to X$ wie oben).
%
%Ein Unter-CW-Komplex von $X_0$ erhalten wir, indem wir an eine 


{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $(X,A)$ ein gutes topologisches Paar, $A\neq \emptyset$, $V$ wie in der vorigen Aufgabe.
Im folgenden bezeichne $\rquot XA$ (bzw.\ $\rquot VA$) den Quotientenraum 
von $X$ durch $A$ (bzw. $V$ durch $A$) und analog sei dann $\rquot AA$ ein Raum 
mit einem Punkt. Die Quotienten-Abbildungen induzieren 
$p_1:(X,A)\to (\rquot XA,\rquot AA)$,\\[1mm] 
$p_2:(X,V)\to (\rquot XA,\rquot VA)$ und\\[1mm] 
$p_3:(X\setminus A, V\setminus A) \to ((\rquot XA)\setminus (\rquot AA), (\rquot VA)\setminus (\rquot AA))$

\ben
\item Folgern Sie mit der vorigen Aufgabe, dass alle horizontalen Abbildungen
des kommutativen Diagramms
$$
\xymatrix{H_q(X,A)\ar[r]\ar[d]^{H_q(p_1)} & H_q(X,V)\ar[d]^{H_q(p_2)} & H_q(X\setminus A,  \ar[l]V\setminus A)\ar[d]^{H_q(p_3)} \\
H_q(\rquot XA,\rquot AA)\ar[r] & H_q(\rquot XA,\rquot VA) & \ar[l] H_q((\rquot XA)\setminus (\rquot AA), (\rquot VA)\setminus (\rquot AA))}
$$
Isomorphismen sind.
\item Zeigen Sie, dass $p_3$ ein Hom\"oomorphismus ist. Folgern Sie,
dass $H_q(p_3)$ und damit auch $H_q(p_1)$ ein Isomorphismus ist.
\item Schließen Sie daraus $\witi H_q(\rquot XA)=H_q(X,A)$, wobei der Basispunkt von $\rquot XA$ 
der Bildpunkt von $A$ in $\rquot XA$ ist.
\item Zeigen Sie: Ist $X$ ein  $n$-dimensionaler CW-Komplex und ist
$R$ ein Hauptidealring, so ist 
$H_n(X)$ ein freier $R$-Modul.\\
{\it (Kommentare: Sie dürfen sich auf den Fall endlicher CW-Komlexe be\-schrän\-ken. Sie dürfen ohne Beweis nutzen: 
Unter-Moduln von freien $R$-Moduln sind frei)}\\
{\it (Hinweis: Betrachten Sie das gute Paar 
$(X,X_{n-1})$, wobei $X_{n-1}$ das $n-1$-Gerüst von $X$ bezeichnet.)} 
\item Ist $q$ größer als die Dimension von $X$, dann gilt $H_q(X)=0$.
\een

{\bf Aufgabe 3}\\
Gegeben sei folgendes kommutatives Diagramm von $R$-Moduln, in dem beide Zeilen exakt sind:
$$
\xymatrix{\ldots\ar[r]& C_{q+1}\ar[r]^{h_{q+1}}\ar[d]^{\gamma_{q+1}}& A_{q}\ar[r]^{f_q}\ar[d]^{\alpha_q}& B_q\ar[r]^{g_q}\ar[d]^{\beta_q}& C_q \ar[r]^{h_q}\ar[d]^{\gamma_q}& \ldots\\ \ldots\ar[r]&C_{q+1}'\ar[r]_{h_{q+1}'}& A_{q}'\ar[r]_{f_q'}& B_q'\ar[r]_{g_q'}& C_q'\ar[r]_{h_q'}&\ldots}
$$
Zeigen Sie: sind alle $\gamma_q$'s Isomorphismen, so ist folgende lange Sequenz exakt:
\[\ldots\lra A_q\bui{\lra}{\Phi_q} A_q'\oplus B_q\bui{\lra}{\Psi_q} B_q'\bui{\lra}{\Gamma_q} A_{q-1}\lra\ldots.\]
Hierbei ist $\Phi_q(a):=\alpha_q(a)\oplus f_q(a)$, $\Psi_q(a'\oplus b):=\beta_q(b)-f_q'(a')$ und $\Gamma_q(b'):=h_q\circ\gamma_q^{-1}\circ g_q'(b')$ f\"ur alle $(a,a',b,b')\in A_q\times A_q'\times B_q\times B_q'$.\\

{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $R$ ein Hauptidealring.
F\"ur $n\in\mathbb{N}$ bezeichne $\C\mathrm{P}^n$ den projektiven Raum von $\C^{n+1}$, und sei $D^{2n}$ den abgeschlossenen Einheitsball in $\R^{2n}$.
Man akzeptiere ohne Beweis, dass eine stetige Abbildung $f:S^{2n-1}=\pa D^{2n}\lra\C\mathrm{P}^{n-1}$ existiert mit $\C\mathrm{P}^n=\C\mathrm{P}^{n-1}\cup_f D^{2n}$.
Berechnen Sie unter Benutzung der Aufgaben~1 und~2 die 
Homologiegruppen von $\C\mathrm{P}^n$.\\
{\sl (Hinweis: Induktion \"uber $n$ und Verwendung von $\C\mathrm{P}^1=S^2$.)}

\vskip1cm
{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 3.2.2011} vor der Vorlesung oder am Freitag 4.2. im Büro Ginoux bzw. Postfach Gepner}.\\
\end{document}



