\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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\def \ee{\end{eqnarray*}}
\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
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\def \eeit{\end{itemize}}
\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\def\mR{\mathbb{R}}
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\let\R\mR

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\let\al\alpha
\let\de\delta
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\let\ga\gamma
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\def \Id{\mathrm{Id}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 20.1.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  12. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $R$ ein kommutativer Ring.
Man betrachte das kommutative Diagramm
$$
\xymatrix{M_1\ar[r]\ar[d]^{f_1} & M_2\ar[r]\ar[d]^{f_2} & M_3\ar[r]\ar[d]^{f_3} & M_4\ar[r]\ar[d]^{f_4} & M_5\ar[d]^{f_5}\\
N_1\ar[r] & N_2\ar[r] & N_3\ar[r] & N_4\ar[r] & N_5}
$$
von $R$-Moduln, in dem die Zeilen exakt sind, $f_2$ und $f_4$ Isomorphismen sind, $f_1$ ein Epimorphismus und $f_5$ ein Monomorphismus ist.
Zeigen Sie, dass dann $f_3$ ein Isomorphismus ist.\\

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei X ein topologischer Raum und $A\subseteq B\subseteq X$ Teilmengen.
Zeigen Sie, dass es eine lange exakte Sequenz der Form
$$
\hspace{-.4cm}\ldots\to H_q(B,A)\to H_q(X,A)\to H_q(X,B)\to H_{q-1}(B,A)\to\ldots\to H_0(X,B)\to 0
$$
gibt.\\

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
F\"ur einen nichtleeren topologischen Raum $X$ mit Basispunkt $x_0$ bezeichne $\wit{H}_q(X):=H_q(X,\{x_0\})$, f\"ur alle $q\in\mathbb{Z}$.
Zeigen Sie:
\ben\item Die $R$-Moduln $\wit{H}_q(X)$ stimmen mit den $R$-Moduln $H_q^\#(X;R)$ aus der Aufgabe 3 im Blatt 9 \"uberein.
\item F\"ur jede Teilmenge $A\subset X$ mit $x_0\in A$ existiert eine lange exakte Sequenz von $R$-Moduln
\[\ldots\lra\wit{H}_q(A)\lra\wit{H}_q(X)\lra H_q(X,A)\lra\wit{H}_{q-1}(A)\lra\ldots\]
{\sl (Hinweis: verwenden Sie die letzte Aufgabe.)}
\een

\newpage
\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Ziel der Aufgabe ist es, den Fundamentalsatz der Algebra mittels Ho\-mo\-lo\-gie\-theo\-rie zu beweisen.
Sei $P\in\mathbb{C}[X]$ ein Polynom mit ${\mbox{\rm deg\;}} P=:n\geq 1$.
Man nehme an, $P$ habe keine Wurzeln in $\mathbb{C}$.
\ben\item F\"ur ein $\lambda\in\mathbb{R}$ definiere man $f_\lambda: S^1\to S^1$, $z\mapsto \frac{P(\lambda z)}{|P(\lambda z)|}$.
%Sei $f:S^1\to S^1$, $f(z):=\buil{\lim}{\lambda\to\infty}f_\lambda(z)$.
Zeigen Sie, dass f\"ur $\lambda\to\infty$ die Abbildung $f_{\lambda}$ gleichm\"a\ss{}ig gegen eine stetige Abbildung $f:S^1\lra S^1$ konvergiert.
\item Zeigen Sie, dass jede Abbildung $f_\lambda$ homotop zu $f$ ist.
\item Zeigen Sie, dass durch die Identifizierung $H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ die von $f$ induzierte Abbildung $H_1(f)$ mit $n\cdot\mathrm{id}$ \"ubereinstimmt.
\item Vergleichen Sie $H_1(f_0)$ und $H_1(f)$ und leiten Sie daraus einen Widerspruch her.
\een

\vskip1cm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 27.1.2011} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



