\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\R\mR

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\let\al\alpha
\let\de\delta
\let\ep\epsilon
\let\ga\gamma
\let\la\lambda
\let\si\sigma

\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
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\def \tr{\mathrm{tr}}
\def \T{\mathrm{T}}

\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
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\let\pa\partial

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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 13.1.2011\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  11. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Wir definieren die folgenden Teilmengen von $S^n\subset \mR^{n+1}$.
  $$D^n_+:=\left\{x\in\mR^{n+1}\,|\,\|x\|=1,\; x_{n+1}\geq 0\right\} \qquad
    D^n_-:=\left\{x\in\mR^{n+1}\,|\,\|x\|=1,\; x_{n+1}\leq 0\right\}$$ 
  $$S^{n-1}:=D^n_+\cap  D^n_-\qquad U_1:= D^n_-\setminus S^{n-1}\qquad
    U_2:=\left\{x\in\mR^{n+1}\,|\,\|x\|=1,\; x_{n+1}\leq -1/2\right\}$$
\ben
\item Erfüllen $X:=S^n$, $A:=D^n_-$ und $U:=U_1$
die Voraussetzungen des Ausschneidungs-Axioms (ES4)?
\item Erfüllen $X:=S^n$, $A:=D^n_-$ und $U:=U_2$
die Voraussetzungen des Ausschneidungs-Axioms (ES4)? 
\item Zeigen Sie, dass die Inklusion 
  $$(D^n_+,S^{n-1})=(S^n\setminus U_1,D^n_-\setminus U_1)\longrightarrow
(S^n\setminus U_2,D^n_-\setminus U_2)$$
eine Homotopie-\"Aquivalenz ist.
\item Sei $h_*$ eine Homologie-Theorie, $q\in \mZ$. Zeigen Sie, dass 
die Inklusion $(D^n_+,S^{n-1})\to 
(S^n,D^n_-)$ einen $R$-Modulisomorphismus 
  $$h_q(D^n_+,S^{n-1})\to h_q(S^n,D^n_-)$$
induziert. Welche Axiome haben Sie dazu benutzt?
\een

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $(X,A)$ ein topologisches Paar.
Zeigen Sie die Exaktheit von 
  $$H_q(A)\to H_q(X)\to H_q(X,A).$$

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Man betrachte ein \emph{Schlangendiagramm} von $R$-Moduln
$$\xymatrix{ & M'\ar[d]_{d'}\ar[r]^{f}& M\ar[d]_{d}\ar[r]^{g} & M''\ar[d]_{d''}\ar[r]& 0\\   0\ar[r]& N'\ar[r]_{f}& N\ar[r]_{g}& N''}$$
(das Diagramm kommutiert und alle Sequenzen von Abbildungen sind exakt).
Beweisen Sie, dass $\delta:\mathrm{Ker}(d'')\rightarrow \mathrm{Coker}(d')$, $z\mapsto f^{-1}\circ d\circ g^{-1}(z)$, eine wohldefinierte lineare Abbildung ist.\\
\newpage
\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Man betrachte das Schlangendiagramm von $R$-Moduln und die Abbildung $\delta$ aus der letzten Aufgabe.
Zeigen Sie, dass
\[\mathrm{Ker}(d')\bui{\to}{f}\mathrm{Ker}(d)\bui{\to}{g}\mathrm{Ker}(d'')\bui{\to}{\delta}\mathrm{Coker}(d')\bui{\to}{f} \mathrm{Coker}(d)\bui{\to}{g}\mathrm{Coker}(d'')\]
eine exakte Sequenz ist.\\


\vskip1cm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 20.1.2011} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



