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% Deutsch
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\let\al\alpha
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\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

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\def\lala{\langle\!\langle}
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\let\ti\tilde
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\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 23.12.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  10. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}


\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
F\"ur einen kommutativen Ring $R$ mit $1$, einen topologischen Raum $X$ und eine Teilmenge $A\subset X$ existiert nach Vorlesung eine exakte Sequenz von $R$-Moduln
\[ \hspace{-5mm}\ldots\lra H_q(A)\bui{\lra}{H_q(i)}H_q(X)\bui{\lra}{H_q(j)}H_q(X,A)\bui{\lra}{\partial}H_{q-1}(A)\lra\ldots\lra H_0(X,A)\lra 0,\]
wobei %$A\bui{\lra}{i}X$ 
$i:A\to X$ und $j:X=(X,\emptyset)\to (X,A)$ die Inklusionen bezeichnen.
Diese Sequenz hei\ss{}t die zu $(X,A)$ assoziierte
\emph{lange exakte Homologiesequenz}.
\ben\item Zeigen Sie: die lineare Abbildung $H_0(A)\bui{\lra}{H_0(i)} H_0(X)$ 
ist genau dann surjektiv, wenn jede Wegzusammenhangskomponente von $X$ 
eine Wegzusammenhangskomponente von $A$ enth\"alt.
\item Zeigen Sie: die lineare Abbildung $H_0(A)\bui{\lra}{H_0(i)} H_0(X)$ ist 
genau dann injektiv, wenn jede Wegzusammenhangskomponente von $X$ h\"ochstens 
eine Wegzusammenhangskomponente von $A$ enth\"alt.
\item Zeigen Sie unter Benutzung der langen exakten Homologiesequenz, dass 
$H_0(X,A)=0$ genau dann gilt, wenn $H_0(A)\bui{\lra}{H_0(i)} H_0(X)$ surjektiv ist.
\een


\noindent{\bf Aufgabe 2} Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$.
\noindent\ben\item
F\"ur einen $R$-Modul $M$ und ein $k\in\mathbb{N}$ sei $\pi:M\lra R^k$ eine surjektive lineare Abbildung.
Zeigen Sie: eine lineare Abbildung $L:R^k\lra M$ existiert mit $\pi\circ L=\mathrm{id}_{R^k}$.
\item Geben Sie $\mathbb{Z}$-Moduln $M$, $N$ und eine surjektive lineare 
Abbildung $\pi:M\lra N$ an, so dass keine lineare Abbildung $L:N\lra M$  
mit $\pi\circ L=\mathrm{id}_N$ existiert.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $X=B^2$ (die zweidimensionale Einheitskreisscheibe im $\R^2$) und $A$ eine
nichtleere Teilmenge von $X$ mit $k$ Elementen, $k\in\mathbb{N}$.
\ben\item Beschreiben Sie die Abbildung $H_0(A)\cong R^k\bui{\lra}{H_0(i)} R\cong H_0(X)$ explizit und bestimmen Sie ihren Kern.
\item Nutzen Sie die lange exakte Homologiesequenz (s.o.), um den Isomorphietyp
von $H_0(X,A)$ und $H_1(X,A)$ zu bestimmen.
\item Was ist $H_q(X,A)$ f\"ur $q\in\mathbb{Z}\setminus\{0,1\}$?
\een

\pagebreak
\noindent{\bf Aufgabe 4}{\sl (Fortsetzung der 2. Aufgabe im Blatt 9)}\\
Sei $X$ ein wegzusammenh\"angender topologischer Raum mit Basispunkt $x$.
Zeigen Sie:
\ben\item Die Abbildung $\pi:\pi_1(X,x)\lra H_1(X,\mathbb{Z})$, $[\gamma]_x\lmt[\gamma]$ (die Homotopieklasse der Schleife $\gamma$ wird auf die Homologieklasse von $\gamma$ als $1$-Zykel abgebildet) ist wohldefiniert.
\item Die Abbildung $\pi$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
\item Der Gruppenhomomorphismus $\pi$ ist surjektiv.
\item Es gilt $[\pi_1(X,x),\pi_1(X,x)]\subset\mathrm{Ker}(\pi)$.
\een
{\it Bemerkung: Es gilt sogar $[\pi_1(X,x),\pi_1(X,x)]=\mathrm{Ker}(\pi)$, 
aber dies ist nicht Teil der Aufgabe.}

\vskip1cm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 13.1.2011} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



