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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 16.12.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  9. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\
% \noindent{\bf Aufgabe}\\
% Zeigen Sie, dass die Kategorie der Schlingel [tangles] keine Abbildungskategorie ist (die Mengen der Morphismen zwischen je zwei Objekten k\"onnen keine Menge von Abbildungen zwischen diesen Objekten sein).\\


\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und geben Sie ein Gegenbeispiel f\"ur jede falsche an.\\
{\sl Sie sollen in der Lage sein, jede Ihrer Antworten in der \"Ubung zu begr\"unden.}
\ben
\item Sind zwei topologische R\"aume hom\"oomorph, so sind sie ho\-mo\-to\-pie\"a\-qui\-va\-lent.
\item Sind zwei topologische R\"aume homotopie\"aquivalent, so sind sie hom\"oomorph zueinander.
\item Sind zwei topologische R\"aume hom\"oomorph, so haben sie isomorphe Fundamentalgruppen.
\item Haben zwei topologische R\"aume isomorphe Fundamentalgruppen, so sind sie hom\"oomorph.
\item Jede Homotopie\"aquivalenz induziert einen Gruppenisomorphismus zwi\-schen den entsprechenden Fundamentalgruppen.
\item Die topologischen R\"aume $\R^n$ und $\R^m$ sind homotopie\"aquivalent, f\"ur alle $m,n\in\mathbb{N}$.
%\item Die topologischen R\"aume $S^n$ und $S^m$ sind homotopie\"aquivalent, f\"ur alle $m,n\in\mathbb{N}$.
%\item F\"ur einen einfach zusammenh\"angenden topologischen Raum $X$ ist jede auf $X$ definierte stetige Abbildung nullhomotop.
\item Sei $X$ ein zusammenziehbarer topologischer Raum, und sind $f_1,f_2:Y\to X$ stetige Abbildungen. Dann sind $f_1$ und $f_2$ homotop zueinander.
\item Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung ist das freie Produkt der 
einzelnen Fundamentalgruppen.
\item F\"ur wegzusammenh\"angende lokal wegzusammenh\"angende topologische R\"aume $X,Y,E$ und stetige Abbildungen $f:Y\to X$ und $p:E\to X$ gelte $f_*(\pi_1(Y))\subset p_*(\pi_1(E))$. 
Dann existiert eine stetige Abbildung $\tilde{f}:Y\to E$ mit $p\circ\tilde{f}=f$.
\item Ist $E\bui{\to}{p}X$ eine \"Uberlagerung eines wegzusammenh\"angenden 
lokal weg\-zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-den topologischen Raumes $X$, 
so existiert f\"ur jedes $e_0\in E$ und jede Schleife $c$ in $X$ mit Basispunkt $p(e_0)$ 
eine eindeutige Schleife $\tilde{c}$ in $E$ mit Basispunkt $e_0$ so, dass $p\circ\tilde{c}=c$ gilt.
\item Jede \"Uberlagerung eines einfach zusammenh\"angenden, 
wegzusammenh\"angenden, lokal wegzusammenh\"angenden 
topologischen Raumes ist tri\-vial.
%\item F\"ur jedes $m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ existiert eine $m$-fache zusammenh\"angende \"Uberlagerung von $S^1$.
\item Die Fundamentalgruppe eines kompakten wegzusammenh\"angenden 
to\-po\-lo\-gischen Raumes ist endlich erzeugt.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $X$ ein topologischer Raum und sei $\gamma:I\to X$ ein Weg in $X$.
\ben
\item
Zeigen Sie, dass $\gamma\gamma^{-1}$ einen $1$-Zykel definiert und 
dass $\gamma\gamma^{-1}\sim 0$.
\item
Zeigen Sie: wenn $\gamma:I\to X$ und $\tau:I\to X$ geschlossene Wege sind, 
so dass $\gamma\simeq_{0,1}\tau$, dann gilt $\gamma\sim\tau$.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
In dieser Aufgabe definieren und diskutieren wir die reduzierte Homologie.
Sei $X$ ein topologischer Raum, und $R$ ein kommutativer Ring mit $1$.

Wir definieren wie in der  singulären Homologie die $R$-Moduln
$C_q(X;R)$ für $q\neq -1$ und die $R$-Homomorphismen $\pa_q$ 
für $q\neq 0,-1$. Wir definieren $C_{-1}(X;R):=R$ und 
$\pa_0^{\#}: C_0(X;R)\to C_{-1}(X;R)$ durch $\pa_0^{\#}(\sum_{i=1}^n a_i x_i)=
\sum_{i=1}^n a_i$ und $\pa_{-1}^\#=0$,

\ben
\item Begründen Sie, dass $\pa_0^{\#}\circ \pa_1=0$ 
{\em (Hinweis: Beweis von 
Prop.\ 2.4.)}
\item Berechnen Sie $H_0^\#(X;R)=\frac{\ker \pa_0^{\#}}{\im \pa_1 }$ und  $H_{-1}^\#(X;R)=\frac{\ker \pa_{-1}^{\#}}{\im \pa_0^\# }$.
\een


\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Seien $C_\bullet$, $C'_\bullet$ und $C''_\bullet$ Kettenkomplexe 
und seien $f^1_\bullet,f^2_\bullet:C_\bullet\to C'_\bullet$ und 
$g^1_\bullet, g^2_\bullet: C'_\bullet\to C''_\bullet$ Homomorphismen 
von Kettenkomplexen. Nehmen Sie an, 
dass $f^1_\bullet\simeq f^2_\bullet$ und $g^1_\bullet\simeq g^2_\bullet$.
Zeigen Sie, dass $g^1_\bullet f^1_\bullet\simeq g^2_\bullet f^2_\bullet$.

\vskip1cm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 23.12.2010} vor der Vorlesung oder im Postfach 
Ginoux/Gepner}.\\
\end{document}



