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% Deutsch
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 9.12.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  8. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\
% \noindent{\bf Aufgabe}\\
% Zeigen Sie, dass die Kategorie der Schlingel [tangles] keine Abbildungskategorie ist (die Mengen der Morphismen zwischen je zwei Objekten k\"onnen keine Menge von Abbildungen zwischen diesen Objekten sein).\\

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $X$ ein wegzusammenh\"angender, lokal wegzusammenh\"angender topologischer Raum, auf dem eine Gruppe $G$ frei und 
eigentlich diskontinuierlich operiert. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Dann sind die Abbildungen
$X\bui{\to}{p_H} X/H$ und $X/H\bui{\to}{p_{G,H}} X/G$ Überlagerungen. Zeigen Sie:
\ben
\item Sind $p_1:E\to X/G$ und $p_2:X\to E$ zwei Überlagerungen mit $p_1\circ p_2=p_G$, dann ist die Überlagerung $p_1:E\to X/G$ isomorph zur Überlagerung
 $X/H\bui{\to}{p_{G,H}} X/G$ f\"ur eine geeignete Untergruppe $H$ von $G$.
\item
Zwei solche \"Uberlagerungen $X/H_1$ und $X/H_2$ von $X/G$ sind isomorph genau dann, wenn $H_1$ und $H_2$ konjugierte Untergruppen von $G$ sind.
\item
Die \"Uberlagerung $X/H\bui{\to}{p_{G,H}} X/G$ ist normal genau dann, wenn $H$ ein Normalteiler von $G$ ist. In diesem Fall ist $G/H$ 
die Gruppe der Deck-Transformationen dieser \"Uberlagerung.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $E:=\{(x,y)\in\R^2\,|\,x\in\mathbb{Z}\;\textrm{oder}\;y\in\mathbb{Z}\}$ und $p:E\to \mR^2$, $(x,y)\mapsto (1-\cos(2\pi y),-\sin(2\pi y))$ 
falls $x\in\mathbb{Z}$ und $(x,y)\mapsto (-1+\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$ falls $y\in\mathbb{Z}$. Das Bild von $p$ bezeichnen wir mit $X$ und 
offensichtlich ist $X$ homöomorph zu $S^1\vee S^1$.
Setze $e_0:=(0,0)\in E$ und $x_0:=0=p(e_0)\in X$.
Bestimmen Sie $p_*(\pi_1(E,e_0))\subset\pi_1(X,x_0)\cong\mZ*\mZ=\langle a\ra * \langle b \ra$.\\




\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
F\"ur folgende Untergruppen $H$ von $\pi_1(S^1\vee S^1)=\langle a\ra * \langle b \ra$ konstruiere man eine zusammenh\"angende \"Uberlagerung $E\bui{\to}{p} S^1\vee S^1$ mit $\pi_1(E)\bui{\twoheadrightarrow}{p_*} H$ (d.h., $p_*(\pi_1(E))=H$) und bestimme, ob es sich um eine normale \"Uberlagerung handelt:
\ben
\item F\"ur die von $b$ erzeugte normale Untergruppe $H$.
\item  F\"ur die von $[\pi_1(S^1\vee S^1),\pi_1(S^1\vee S^1)]$ und $a^3$ erzeugte Untergruppe $H$.
\een
{\it Tipp: Benutzen Sie Aufgabe 2 .}\\

\pagebreak
\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Das folgende Bild zeigt die \"Uberlagerung $E$ von $X=S^1\lor S^1$,
%Sei $E$ \"Uberlagerung $E$ von $X=S^1\lor S^1$, 
die in Beispiel I.8.16 (3) der Vorlesung beschrieben wurde.\\
\includegraphics[scale=.8]{picture0002.pdf}
\noindent
Beschreiben Sie das Bild von $\pi_1(E)$ in $\pi_1(X)$.
Geben Sie dazu ein Erzeugendensystem von $\pi_1(E)$ an.


\vskip3mm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 16.12.2010} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



