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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
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\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
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\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 2.12.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  7. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
F\"ur einen semi-lokal einfach zusammenh\"angenden, 
wegzusammenh\"angenden topologischen Raum $X$ mit Basispunkt $x_0$ 
bezeichne ${\rm COV}_*(X,x_0)$ die Kategorie, deren Objekte die 
Tripel $(E,\pi,e_0)$ sind, wobei $E\bui{\lra}{\pi}X$ \"Uberlagerung 
mit $\pi(e_0)=x_0$ ist, und deren Morphismen zwischen Objekten $O=(E,\pi,e_0)$ 
und $O'=(E',\pi',e_0')$ sind Tripel $(O,O',P)$, wobei $P:E\lra E'$ stetig ist 
mit $\pi'\circ P=\pi$ und $P(e_0)=e_0'$.
\ben\item \"Uberpr\"ufen Sie, ob ${\rm COV}_*(X,x_0)$ eine Kategorie ist.
\item Zeigen Sie die Existenz eines intitalen Objekts in ${\rm COV}_*(X,x_0)$.
\item Zeigen Sie die Existenz eines terminalen Objekts in ${\rm COV}_*(X,x_0)$.
\een



\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $X$ der topologische Raum $\R^3\setminus(G\bui{\cup}{\scriptscriptstyle\bullet} K)$, wobei $G$ eine affine Gerade und $K$ ein Kreis im $\R^3$ sind.
Zeigen Sie, dass die Fundamentalgruppe von $X$ isomorph zu
\ben\item der von zwei Elementen erzeugten freien Gruppe ist, falls $G$ die von $K$ berandete Kreisscheibe nicht schneidet.
\item der Gruppe $\mathbb{Z}^2$ ist, falls $G$ die von $K$ berandete Kreisscheibe schneidet.\\
{\sl(Hinweis: zeigen Sie, dass $X$ homotopie\"aquivalent zu einem $2$-di\-men\-sio\-na\-len Torus ist; dabei ist es hilfreich, $X$ als Drehung einer gel\"ocherten Halbebene um den Rand dieser Halbebene zu betrachten.)}
\een

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\ 
Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und 
$X=U_1\cup U_2$, $U_i$ offen in $X$. Sei $U_1\cap U_2$ wegzusammenhängend 
und $x_0\in U_1\cap U_2$. 
Sei $H_1(Y)$, für $Y=X,U_1,U_2,U_1\cap U_2$
definiert als die Abelianisierung von $\pi_1(Y,x_0)$.\\
Zeigen Sie:
\ben
\item Die Inklusionen induzieren Abbildungen 
$H_1(U_1\cap U_2)\to H_1(U_i)\to H_1(X)$.
\item Sei $G$ das Bild von $H_1(U_1\cap U_2)$ in  
$H_1(U_1)\oplus H_1(U_2)$. Zeigen Sie
$H_1(X)=H_1(U_1)\oplus H_1(U_2)/G$.\\
{\em Tipp: Theorem von van Kampen.}
\een

\pagebreak
\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $m\in\mathbb{N}$, $m\geq 1$.
\ben\item 
Zeigen Sie, dass f\"ur jede stetige Abbildung $f:S^m\lra\R$ ein $x\in S^m$ existiert mit $f(-x)=f(x)$.
% {\sl(Hinweis: im Falle $f(-x)\neq f(x)$ f\"ur alle $x$ betrachten Sie die Abbildung $x\mapsto\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}$.)}
\item Sei nun $m\geq 2$ und $f:S^m\lra\R^2$ eine stetige Abbildung.
Ziel der n\"achsten Teilaufgabe ist es, zu zeigen, dass ein $x\in S^m$ existiert mit $f(-x)=f(x)$.
Man nehme an, dass dies nicht gelte.
\beit\item Sei $g:S^m\lra\R^2$, $x\mapsto\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}$.
Zeigen Sie, dass $g$ eine stetige Abbildung $h:\R{\rm P}^m\lra\R{\rm P}^1$ mit $p_1\circ g=h\circ p_m$ induziert, wobei $S^k\bui{\lra}{p_k}\R{\rm P}^k$ die kanonische Projektion ist f\"ur alle $k$.
\item Sei $x_0\in S^m$ beliebig.
Zeigen Sie die Existenz eines eindeutigen Lifts $\tilde{h}$ von $h$ durch $p_1$ mit $\tilde{h}(p_m(x_0))=g(x_0)$.
\item Leiten Sie daraus einen Widerspruch her.
\eeit
\item Gilt die Aussage der letzten Teilaufgabe f\"ur $m=1$?
\een

\vskip3mm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 9.12.2010} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



