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% Deutsch
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\def \be{\begin{eqnarray*}}
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\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
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\def\mR{\mathbb{R}}
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\let\R\mR

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\let\al\alpha
\let\de\delta
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\let\ga\gamma
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\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 25.11.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  6. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Sei $E\bui{\lra}{p}X$ eine \"Uberlagerung.
Zeigen Sie: ist $X$ wegzusammenh\"angend, so haben alle Fasern, d.h.\  
alle Mengen der Form $p^{-1}(\{x\})$, $x\in X$ dieselbe Kardinalit\"at.\\
(Bem.: die Behauptung ist auch wahr, wenn wir wegzusammenh\"angend durch 
zusammenh\"angend ersetzen.)\\

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $X$ ein wegzusammenh\"angender und lokal wegzusammenh\"angender 
topologischer Raum.
Zeigen Sie: 
\ben
\item Ist $\pi_1(X)$ endlich, so ist jede stetige Abbildung $X\lra S^1$ nullhomotop.
\item  Ist die Abeliansierung von $\pi_1(X)$ eine Torsionsgruppe, 
so ist jede stetige Abbildung $X\lra S^1$ nullhomotop.
\een



\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Es bezeichnen $\textrm{\bf M\"ob}$ das kompakte M\"obiusband, $\R\mathrm{P}^2$ die projektive Ebene und $K$ die Kleinsche Flasche (zur Erinnerung ist $K$ definiert als der Quotient $\rquot{[0,1]^2}{\sim}$, wobei $(0,t)\sim(1,1-t)$ und $(t,0)\sim(t,1)$ f\"ur alle $t\in[0,1]$).
\ben\item Zeigen Sie, dass $K=\textrm{\bf M\"ob}\cup_{S^1}\textrm{\bf M\"ob}$ gilt.\\
{\sl(Hinweis: Betrachten Sie $\{[(t,\frac{1}{2})]\,|\,t\in [0,1]\}\subset K$.)}
\item Zeigen Sie, dass $\R\mathrm{P}^2=\textrm{\bf M\"ob}\cup_{S^1}D^2$ gilt, wobei $D^2:=\{x\in\R^2\,|\,\|x\|<1\}$.
{\sl(Hinweis: Fassen Sie $\R\mathrm{P}^2$ als $\rquot{S^2}{\{\pm\mathrm{Id}\}}$ auf und identifizieren Sie das Komplement der Kreisscheibe $\{[x]\in \R\mathrm{P}^2\,|\,|x_3|>\frac{1}{2}\}$ in $\R\mathrm{P}^2$.)}
\item Leiten Sie daraus her, dass $K$ als zusammenh\"angende Summe $\R\mathrm{P}^2\sharp\,\R\mathrm{P}^2$ geschrieben werden kann.
\een


 \noindent{\bf Aufgabe 4}\\
 Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein wegzusammenhängender, einfach zusammenh\"angender 
 topologischer Raum, und $G\times X\to X$, $(g,x)\mapsto gx$ eine 
 Gruppen-Operation, derart dass für jedes $g$ die Abbildung $x\mapsto gx$
 ein Hom\"oomorphismus ist.
 Angenommen, $G$ operiere frei und eigentlich diskontinuierlich auf $X$.
 Hierbei bedeutet "`frei"': f\"ur alle $g\in G\setminus \{1\}$ 
und alle $x\in X$ gilt  $gx \neq x$. Eine freie Operation ist
"`eigentlich diskontinuierlich"' falls 
 jedes $x$ in $X$ eine Umgebung $U$ besitzt, so dass f\"ur alle  
 $g\in G\setminus \{1\}$ gilt $U\cap gU=\emptyset$.
 Sei $X/G$ der Quotient von $X$ durch diese Operation, versehen mit der 
 Quotiententopologie.
 Zeigen Sie:
\ben 
\item $X\to X/G$ ist eine \"Uberlagerung.
\item F\"ur jedes $p\in X/G$ ist $\pi_1 (X/G,p)$ isomorph zu $G$.
\een


\vskip3mm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 2.12.2010} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



