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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
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\def \Id{\mathrm{Id}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
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\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 18.11.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  5. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\


\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
F\"ur einen wegzusammenh\"angenden topologischen Raum $X$ bezeichne $[S^1,X]$ die Menge der Homotopieklassen von stetigen Abbildungen $S^1\to X$.
Sei $x_0\in X$ ein beliebiger Punkt und $\phi:\pi_1(X,x_0)\to[S^1,X]$, $[\gamma]_{x_0}\mapsto[\gamma]$ die nat\"urliche Abbildung (der Basispunkt $x_0$ wird ``vergessen'').
\ben\item Zeigen Sie, dass $\phi$ surjektiv ist.
\item Zeigen Sie, dass $\phi([\gamma]_{x_0})=\phi([\gamma']_{x_0})$ genau dann gilt, wenn $[\gamma]_{x_0}$ und $[\gamma']_{x_0}$ in $\pi_1(X,x_0)$ zueinander konjugiert sind.
\item Leiten Sie daraus her, dass eine bijektive Abbildung zwischen $[S^1,X]$ und der Menge der Konjugationsklassen in $\pi_1(X)$ existiert.
\een


\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Man betrachte eine Standardeinbettung von $S^1$ in den $\R^3$, z.B. $(x_1,x_2)\mapsto(x_1,x_2,0)$.
Deren Bild wird ebenfalls mit $S^1$ bezeichnet.
Ziel die Aufgabe ist es, die Fundamentalgruppe von $\R^3\setminus S^1$ zu berechnen.
\ben\item Sei $A:=S_2^2(0)\cup\{\left(\begin{array}{c}0\\0\\ t\end{array}\right)\,|\,t\in[-2,2]\}$, wobei $S_2^2(0)$ die euklidische Abstandssph\"are vom Radius $2$ um $0\in\R^3$ ist.
Zeigen Sie, dass $A$ ein Deformationsretrakt von $\R^3\setminus S^1$ ist.
{\sl(Es werden keine expliziten Formeln verlangt! Beschreiben Sie Ihr Verfahren  --- Bilder sind dabei hilfreich.)}
\item Zeigen Sie, dass $A=S^2\cup_f D^1$ f\"ur eine geeignete Abbildung $f$ gilt.
\item Zeigen Sie, dass $A$ ein CW-Komplex ist.
\item Zeigen Sie, dass $A$ homotopie\"aquivalent zu $S^2\vee S^1$ ist.
\item Berechnen Sie $\pi_1(\R^3\setminus S^1)$.
\een


\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}$ die freie Gruppe von $\mZ$ mit $\mZ$. 
Wir notieren
die $1$ im ersten Faktor mit $a$ und die $1$ im zweiten Faktor mit $b$. 
Sei $G$ der Quotient von $\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}$ 
durch den Normalteiler der von $aba^2b^2$ und $ba^5$ erzeugt wird.
\ben
\item
Zeigen Sie, dass $ba^{-2}b\equiv 1_G\in G$.
\item
Konstruieren Sie einen CW-Komplex $X$, so dass f\"ur alle $p\in X$, $\pi_1 X\cong G$.
(Hinweis: Mehrere Wahlen sind m\"oglich, aber es gibt ein sch\"ones Beispiel 
mit einer 1-Zelle, zwei 1-Zellen, und zwei 2-Zellen.)
\een

\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Sei $X$ der topologische Raum, den wir aus $S^2$ erhalten,
wenn wir $e_1\in S^2$ mit $-e_1\in S^2$ verkleben. Zerlegen Sie $X$ in 
$0$-, $1$- und $2$-Zellen, so dass $X$ die Struktur eines CW-Komplexes hat.
Berechnen Sie damit $\pi_1(X)$.\\
{\em Tipp: Es geht mit je einer $0$-, $1$- und $2$-Zelle. 
Dann ist die Berechnung von $\pi_1$ ganz einfach.)


\vskip5cm
\noindent{\sl Abgabe der Lösungen:
\textbf{Donnerstag 25.11.2010} vor der Vorlesung}.\\
\end{document}



