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% Deutsch
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\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
\let\de\delta
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\let\ga\gamma
\let\la\lambda
\let\si\sigma

\def \Id{\mathrm{Id}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
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\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 9.11.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  4. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\


\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
Es bezeichne $\mathbb{T}^2=S^1\times S^1$ den $2$-dimensionalen Torus.
\ben\item Bestimmen Sie die Fundamentalgruppe von 
$X_1:=\mathbb{T}^2\setminus\{p\}$, wobei $p\in\mathbb{T}^2$ ein 
beliebiger Punkt ist. 
\textit{Tipp: Zeigen Sie, dass $X_1$ homotopie\"aquivalent zu zwei 
in einem Punkt zusammengeklebten Kreisen ist.}
\item Bestimmen Sie die Fundamentalgruppe von 
$X_2:=\mathbb{T}^2\setminus\{p,q\}$, wobei $p,q\in\mathbb{T}^2$ beliebige 
verschiedene Punkte sind. 
\textit{Tipp: Zeigen Sie, dass $X_2$ homotopie\"aquivalent zu drei 
in einem Punkt zusammengeklebten Kreisen ist.}
\een

\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
F\"ur Gruppen $G_1$ und $G_2$ bezeichne $G_1*G_2$ das freie Produkt 
von $G_1$ und $G_2$.
\ben\item Zeigen Sie, dass die Abbildung $G_1*G_2\rightarrow G_1\times G_2$, 
$G_1\ni g\mapsto(g,1)$, $G_2\ni h\mapsto(1,h)$, einen Gruppenhomomorphismus 
definiert.
\item Bestimmen Sie den Kern dieses Gruppenhomomorphismus falls 
$G_1\cong G_2\cong \mathbb{Z}_2$.
\item (Zusatzaufgabe) Sei wieder  $G_1\cong G_2\cong \mathbb{Z}_2$, und seien
$a$ bzw.\ $b$ die nicht-trivialen Elemente in $G_1$ bzw.\ $G_2$. Zeigen Sie, 
dass 
%\begin{eqnarray*}
$$
\begin{matrix}
  1& \to &\mathbb{Z}  &\to&G_1*G_2&\to& G_1&\to & 1\\
  &&k &\mapsto & (ab)^k \\
  &&           &&a&\mapsto &a\\
  &&           &&b&\mapsto &a
\end{matrix}
$$
%\end{eqnarray*}
eine kurze exakte Sequenz von Gruppen ist. Schließen Sie daraus, dass 
$\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2$ isomorph zu einem semi-direkten Produkt von $\mZ$ 
mit $\mZ_2$ ist. Dieses semi-direkte Produkt ist das einzige 
semi-direkte Produkt von $\mZ$ mit $\mZ_2$, das nicht das direkte 
Produkt $\mZ\times \mZ_2$ ist.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Sei $G$ eine topologische Gruppe (siehe Aufgabe 4 auf Blatt 3 
f\"ur die Definition).
Zeigen Sie, dass die Fundamentalgruppe von $G$ abelsch ist.\\
{\sl(Hinweis: konstruieren Sie f\"ur $\alpha,\beta\in\mathcal{L}(G,1)$
Homotopien zwischen den Schleifen $\alpha\beta$, $\beta\alpha$ und 
$t\mapsto\alpha(t)\cdot\beta(t)$, wobei ``$\,\cdot\,$'' 
die Multiplikation in $G$ bezeichnet.)}\\

\pagebreak

\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Seien $X$ und $Y$ wegzusammenhängende topologische R\"aume.
Sei $n\in\mN$, $n\geq 3$.
Es gebe stetige, offene und injektive Abbildungen  $f:\mathbb{R}^n\to X$ und 
$g:\mathbb{R}^n\to Y$.

Auf $P:= (X \setminus f(B^n_1(0))\cup (Y \setminus g(B^n_1(0))$ definieren
wir $x\sim y$ gdw 
($x=y$ oder $\exists z\in S^{n-1}_1(0)$ mit $x=f(z)\in X$ und $y=g(z)\in Y$).
Die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit $\tilde P$. 
Wir versehen $\tilde P$
mit der Quotiententopologie der surjektiven Abbildung $P\to \tilde P$, 
$x\mapsto [x]$. Man nennt den topologischen Raum $\tilde P$ die
zusammenhängende Summe von $X$ und $Y$ und schreibt zumeist 
$X\# Y$ für $\tilde P$.

Zeigen Sie
\ben
\item $f$ und $g$ sind Homöomorphismen auf ihr Bild.
\item $\pi_1(X)=\pi_1(X\setminus \{f(0)\})$, 
$\pi_1(Y)=\pi_1(Y\setminus \{g(0)\})$ 
\item $\pi_1(X\# Y)=\pi_1(X)*\pi_1(Y)$
\een



\noindent{\bf Aufgabe 5}\\
%Ein Graph ist ein topologischer Raum aus Punkten und Intervallen 
%durch die Identifizierung verschiedenen Endpunkten aufgebaut. 
%Insbesondere besteht eine graphische Darstellung eines disjunkte Vereinigung 
%von Punkten durch eine Menge $V$ indiziert (die "Ecken"), eine disjunkte 
%Vereinigung von Intervallen durch eine Menge $E$ indiziert (die "Kanten"), 
%und zwei Abbildungen $d_0,d_1:E\to V$ die angeben, die Ecken entsprechend den 
%Endpunkten der Kanten. Der Graph ist der Quotient $X$ von 
%$\coprod_{e\in E} I = E\times I$ aus der \"Aquivalenzrelation per $E$ erzeugt, %erhalten $(e,0) = d_0(e)$ und $(e,1)= d_1(e)$, ausger\"ustet mit 
%dem Quotienten-Topologie.
Ein Graph $T$ wird Baum genannt, wenn er zusammenziehbar ist. 
Sei nun $X$ ein Graph.
Ein zusammenziehbarer Teilgraph $T$ von $X$ 
heißt maximaler Baum in $X$, 
falls es keinen zusammenziehbaren Teilgraphen $T'$ in $X$ mit 
$T\subsetneq T'$ gibt.

Zeigen Sie: 

\ben
%\item
%Ein Graph ist zusammenhängend genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist. Zwei 
%Ecken sind in der selben Zusammenhangskomponente, wenn die Enden durch endlich viele Kanten verbunden sind. 
\item Ein zusammenhängender Graph ist genau dann ein Baum, wenn er 
einfach zusammenhängend ist. 
\item Jeder Graph enthält einen maximalen Baum. \textit{Tipp: Konzentrieren
Sie sich zunächst auf endliche Graphen. Für unendliche Graphen ist das 
Lemma von Zorn zu verwenden.}
% \item
% Sei $X$ der Graph $d_0, d_1:E\to V$ werden. Zeigen Sie, dass $X$ einen 
% maximalen Baum enthält.
\item Jeder zusammenhängende Graph ist homotopieäquivalent zu einem Gra\-phen mit 
nur einer Ecke.
\item
Sei $X$ ein Graph und sei $x$ ein Punkt in $X$ (nicht unbedingt ein Vertex). 
Zeigen Sie, dass $\pi_1(X,x)$  eine freie Gruppe ist.
\een



\vskip 5mm

\noindent{\sl Abgabe der Lösungen: Die Teilnehmer der Gruppe von D. Gepner geben die Lösungen von Aufgaben 1--3 bitte am \textbf{Dienstag, den 16.11.} ab. Abgabetermin für die restlichen Lösungen  ist \textbf{Donnerstag 18.11.2010} vor der Vorlesung}.\\

\end{document}



