\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% Deutsch
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\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\al\alpha
\let\de\delta
\let\ep\epsilon
\let\ga\gamma
\let\la\lambda
\let\si\sigma

\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
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\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 2.11.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  3. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\

\noindent{\bf Aufgabe 1}\\
F\"ur eine nat\"urliche Zahl $n\geq 2$ bezeichne $S^n$ die $n$-dimensionale Sph\"are.
\ben\item Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung $\gamma:I\to S^n$ mit 
$\gamma(0)=\gamma(1)=p$ homotop mit festen Endpunkten zu einer Kurve 
$\tilde\gamma$ ist,
die st\"uckweise aus Gro\ss{}kreisen besteht.
{\sl (Hinweis: Zeigen  und benutzen Sie, dass $\gamma$ 
gleichm\"a\ss{}ig stetig ist).}
\item Zeigen Sie, dass $\tilde\gamma:I\to S^n$ nicht surjektiv ist.
\item Folgern Sie hieraus: $\pi_1(S^n,p)=[\underline p]$.
\een


\noindent{\bf Aufgabe 2}\\
Sei $X$ ein weg-zusammenh\"angender topologischer Raum und $p\in X$. 
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen \"aquivalent sind:
\ben
\item $\pi_1(X,p)=[\underline p]$.
\item Jede stetige Abbildung $\alpha:S^1\to X$ ist homotop zur konstanten Abbildung $\underline{p}:S^1\to X$.
\item Jede stetige Abbildung $\alpha:S^1\to X$  kann man
zu einer stetigen Abbildung $D^2\to X$ fortsetzen.
\item Sind $f,g:[0,1]\to X$ stetige Wege mit $f(0)=g(0)$ und $f(1)=g(1)$, 
so sind $f$ und $g$ homotop mit festen Endpunkten.
\een

\noindent{\bf Aufgabe 3}\\
Zeigen Sie, dass eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ genau dann
eine Homotopie-\"Aquivalenz ist, wenn es stetige Abbildungen $g,h:Y\to X$
mit  $g\circ f\simeq\mathrm{id}_X$ und $f\circ h\simeq\mathrm{id}_Y$ gibt.
\pagebreak

\noindent{\bf Aufgabe 4}\\
Eine \emph{topologische Gruppe} ist eine Gruppe $G$ zusammen mit einer Topologie derart, dass die Multiplikation $(x,y)\mapsto xy$ sowie die Inversenabbildung $x\mapsto x^{-1}$ stetig sind.
Sei $G$ eine topologische Gruppe.
\ben\item Sei $x\in G$ beliebig.
Zeigen Sie, dass die Linksmultiplication $L_x:G\to G$, $y\mapsto xy$ und 
die Konjugationsabbildung $C_x:G\to G$, $y\mapsto xyx^{-1}$ 
Hom\"oomorphismen sind.
\item
Zeigen Sie, dass die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements von $G$ eine normale abgeschlossene Untergruppe von $G$ ist.
\item Zeigen Sie: ist $G$ zusammenh\"angend, so wird $G$ durch jede Umgebung des neutralen Elements erzeugt.
\een



\vskip 2cm

\noindent{\sl Abgabe der Lösungen am Dienstag 9.11.2010 vor der Vorlesung}\\

\end{document}



