\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%%%%%%%%%
% Deutsch
%%%%%%%%%%
\usepackage{ngerman}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

%%%
\usepackage{latexsym,amssymb,amsmath}
%\usepackage{mltex}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{amstext}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
\usepackage{enumerate}

\frenchspacing
%\vfuzz=2pt \hfuzz=2pt
\def \be{\begin{eqnarray*}}
\def \ee{\end{eqnarray*}}
\def \ben{\begin{enumerate}[{\rm (a)}]}
\def \een{\end{enumerate}}
\def \beit{\begin{itemize}}
\def \eeit{\end{itemize}}
\def \bui#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits^{#2}}}
%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
\def \buil#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
\def \bfll{\begin{flushleft}}
\def \efll{\end{flushleft}}
\def \bflr{\begin{flushright}}
\def \eflr{\end{flushright}}
\def \ligne{\noindent \rule{\textwidth}{0.5mm} \\}
\def \findemo{\hfill$\square$\\}
\def \fintdemo{\hfill$\surd$\\}
\def \grad{\mathop{\mathrm{grad}}}
\def \diam{\mathop{\mathrm{diam}}}
\def \injrad{\mathop{\mathrm{injrad}}}
\def \lra{\longrightarrow}
\def \lmt{\longmapsto}
\def \ovl{\overline}
\def \udl{\underline}
\def \wih{\widehat}
\def \wit{\widetilde}
\def \wnabla{\wit{\nabla}}
\def \cdotM{\buil{\cdot}{M}}
\def \diag{\mathrm{diag}}
\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \ric{\mathrm{ric}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
\def \SU{\mathrm{SU}}
\def \su{\mathfrak{su}}
\def \Sym{\mathrm{Sym}}
\def \tr{\mathrm{tr}}
\def \T{\mathrm{T}}
\def \lala{\langle\!\langle}
\def \rara{\rangle\!\rangle}

\def\End{\mathop\mathrm{End}}

\def\cC{\mathcal{C}}
\def\cF{\mathcal{F}}
\def\cK{\mathcal{K}}
\def\cS{\mathcal{S}}

\def\mR{\mathbb{R}}
\def\mC{\mathbb{C}}
\def\mZ{\mathbb{Z}}
\def\mN{\mathbb{N}}

\newcommand{\lquot}[2]{\raisebox{-0.5ex}{$#2$}\backslash\!\raisebox{0.5ex}{$#1$}}
\newcommand{\rquot}[2]{\raisebox{0.5ex}{$#1$}\!/\!\raisebox{-0.5ex}{$#2$}}
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}
%\pa{argument}
\newcommand{\page}[1]{\ind \begin{minipage}[t]{15cm} #1 \end{minipage}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\mnote}[1]{\marginpar{\tiny\em #1}}

\newtheorem{ethm}{Theorem}[section]
\newtheorem{edefi}[ethm]{Def\mbox{}inition}
\newtheorem{elemme}[ethm]{Lemma}
\newtheorem{erem}[ethm]{Note}
\newtheorem{erems}[ethm]{Notes}
\newtheorem{ecor}[ethm]{Corollary}
\newtheorem{prop}[ethm]{Proposition}
\newtheorem{eexemple}[ethm]{Example}
\newtheorem{eexemples}[ethm]{Examples}
%\setlength{\textheight}{247mm}\setlength{\oddsidemargin}{-20mm}
%\setlength{\evensidemargin}{-20mm} \setlength{\textwidth}{200mm}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}

\let\al\alpha
\let\de\delta
\let\ep\epsilon
\let\ga\gamma
\let\la\lambda
\let\si\sigma

\def \Id{\mathrm{Id}}
\def \Q{\mathrm{Q}}
\def \SO{\mathrm{SO}}
\def \so{\mathfrak{so}}
\def \Spin{\mathrm{Spin}}
\def \SU{\mathrm{SU}}
\def \su{\mathfrak{su}}
\def \Sym{\mathrm{Sym}}
\def \tr{\mathrm{tr}}
\def \T{\mathrm{T}}

\def\RP{\mR\mathrm P}

\let\<\langle
\let\>\rangle
\def\lala{\langle\!\langle}
\def\rara{\rangle\!\rangle}

\let\witi\widetilde
\let\ti\tilde
\let\na\nabla
\let\pa\partial


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann\hfill 26.10.2010\\
Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  2. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\


\noindent{\bf 1. Aufgabe}\\
Sei $X$ ein topologischer Raum, $Y\subset X$ sei mit der Teilraum-Topologie versehen.
Zeigen Sie
\ben
\item Ist $X$ kompakt und $Y$ abgeschlossen, dann ist auch $Y$ kompakt.
\item Ist $Y$ kompakt und $X$ hausdorffsch, dann ist $Y$ abgeschlossen.
\een


% \noindent{\bf 1. Aufgabe}\\
% Seien $X$ und $Y$ Hausdorffräume.
% Wir sagen: eine Folge von Punkten $x_i\in X$, $i=1,2,\ldots$ konvergiert gegen $x_0$, wenn es zu 
% jeder Umgebung $U$ von $x_0$ ein $N_U\in \mN$ gibt, so dass $x_i\in U$ für alle $i\geq N_U$. Wir schreiben dann 
% $\lim_{i\to \infty} x_i=x_0$. Eine Abbildung $f:X\to Y$ heißt \emph{folgenstetig}, falls gilt: Ist $(x_i)$ konvergent, so ist auch $f(x_i)$ 
% konvergent.
% Ein Punkt $x_0\in X$
% heißt Häufungspunkt von $X$, wenn $(X\setminus\{x_0\})\cap U\neq \emptyset$ für alle Umgebungen von $U$ von $x_0$.
% \ben
% \item Zeigen Sie: jede stetige Abbildung $f:X\to Y$ ist folgenstetig.
% \item Ist $f:X\to Y$ folgenstetig, so gilt $f(\lim_{i\to \infty}x_i)= \lim_{i\to \infty}f(x_i)$. (Wir nehmen hier nicht an, 
% dass $f$ stetig ist.)
% %\item Gibt es folgenstetige, aber nicht stetige Abbildungen? (Tipp betrachten Sie die diskrete Topologie auf $X$)
% \item
% Der Raum $X$ erfülle das erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom, und jeder Punkt von $X$ sei H\"aufungspunkt von $X$.
% Zeigen Sie: es gibt eine Folge $(x_i)$ von Punkten in $X\setminus\{x_0\}$ mit $\lim_{i\to \infty}x_i=x_0$.
% \item Der Raum  $X$ erfülle das erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom.
% Zeigen sie: Ist $f$ folgenstetig, so ist $f$ auch stetig.
% %(Tipp: Nehmen sie an, dass $f$ nicht stetig ist. Verfeinern Sie dann die Wahl der $x_i$, so dass $f(x_i)$ nicht konvergiert.)
% \een

\noindent{\bf 2. Aufgabe}
\ben\item Ist die Vereinigung kompakter Teilmengen eines topologischen 
Raumes kompakt? Ist der Durchschnitt einer nicht-leeren Familie
von kompakten Teilmengen eines Hausdorffraums 
kompakt? Ändert sich die Antwort, wenn wir nur Vereinigungen und 
Durchschnitte endlich vieler kompakter Teilmengen betrachten?
Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Ein Hausdorffraum $X$ hei\ss{}t genau dann \emph{folgenkompakt}, 
wenn jede Folge aus $X$ eine konvergente Teilfolge besitzt.
Zeigen Sie: erf\"ullt ein kompakter Hausdorffraum das 
erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom, so ist er folgenkompakt.\\
{\sl (Hinweis: F\"ur eine Folge $(x_n)_n$ aus $X$ betrachten Sie die Folge $(K_N:=\overline{\{x_n\,|\,n\geq N\}})_N$.)}
\een

\noindent{\bf 3. Aufgabe}\\
Ein topologischer Raum $X$ hei\ss{}t genau dann \emph{lokalkompakt}, wenn jeder Punkt von $X$ eine kompakte Umgebung besitzt.
Sei $(X,\mathcal{O})$ ein lokalkompakter Hausdorffraum. 
F\"ur eine Menge mit einem Element $\{\infty\}$ betrachte man $\hat{X}:=X\amalg\{\infty\}$.
\ben\item Zeigen Sie, dass $\hat{\mathcal{O}}:=\mathcal{O}\cup\{(X\setminus K)\amalg\{\infty\}\,|\,K\subset X\textrm{ kompakt}\}$ eine Topologie auf $\hat{X}$ definiert.
\item Zeigen Sie, dass $(\hat{X},\hat{\mathcal{O}})$ ein kompakter Hausdorffraum ist.
\item Zeigen Sie: der Punkt $\infty$ ist genau dann isoliert in $(\hat{X},\hat{\mathcal{O}})$, wenn $(X,\mathcal{O})$ kompakt ist.
\item Zeigen Sie, dass f\"ur $X=\mathbb{R}^n$ (versehen mit der Standardtopologie) der Raum $\hat{X}$ zur $n$-dimensionalen Sph\"are $\mathbb{S}^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}\,|\,\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\}$ hom\"oomorph ist.
\een
$ $\\

\noindent{\bf 4. Aufgabe}\\
Sei $X:=C^0([0,1],[0,1])$ der Raum der stetigen Abbildungen $[0,1]\to[0,1]$, wobei $[0,1]$ seine Standardtopologie tr\"agt.
Man versehe $X$ mit der von $[0,1]^{[0,1]}$ induzierten Produkttopologie.
Zeigen Sie, dass die Abbildung $X\to \mathbb{R}$, $f\mapsto\int_0^1 f(x)dx$, folgenstetig aber nicht stetig ist.\\[5mm]

Auf diesem Blatt benutzen wir die folgenden Definitionen. 
Sei $X$ ein Hausdorffraum.
Eine Folge $(x_n)_{n\in \mN}$, $x_n\in X$ konvergiert gegen $x\in X$, 
falls es zu jeder Umgebung $U$ von $x$ eine Zahl $N\in \mN$ gibt, so dass 
$x_n\in U$ f\"ur alle $n\geq N$. Man notiert dann $x=\lim_{n\to \infty} x_n$.
Eine Abbildung $f:X\to Y$ 
zwischen Hausdorffr\"aumen $X$ und $Y$ 
hei\ss{}t folgenstetig, falls sie konvergente Folgen auf konvergente 
Folgen abbildet. Es gilt dann u.a.\
$f(\lim_{n\to\infty} x_n)= \lim_{n\to\infty} f(x_n)$. (Wieso?)




\vskip 2cm

\noindent{\sl Abgabe der Lösungen am Dienstag 2.11.2010 vor der Vorlesung}\\

\end{document}



