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% Deutsch
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%\[\bui{\rightarrow}{b}\]
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\let\ti\tilde
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\noindent Universität Regensburg, Mathematik\hfill WS 2010/11\\
Prof. Dr. Bernd Ammann, Dr. Nicolas Ginoux, Dr. David Gepner\hfill 19.10.2010\\

\begin{center}
{\bf Topologie I \\
  1. Übungsblatt} $ $\\
\end{center}
%$ $\\


\noindent{\bf 1. Aufgabe}\\
Wir versehen $[-1,1]$ und $S^{n-1}$ mit der von $\mR$ und $\mR^n$ induzierten Topologie und
 $[-1,1]\times S^{n-1}$ mit der Produkt-Topologie dieser Topologien.
Die Abbildung
\begin{eqnarray*}
   f:[-1,1]\times S^{n-1} & \to & S^n\\
   (t,x)&\mapsto & \begin{pmatrix} t\\ \sqrt{1-t^2}\; x\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
ist surjektiv und wir betrachten die induzierte Quotienten-Topologie auf $S^n$.\\
Zeigen Sie, dass diese Quotienten-Topologie mit der von $\mR^{n+1}$ 
induzierten Topologie übereinstimmt.\\[5mm]

\noindent{\bf 2. Aufgabe}\\
Zeigen Sie, dass jeder zusammenh\"angende und lokal wegzusammenh\"angende topologische Raum wegzusammenh\"angend ist.\\[5mm]

\noindent{\bf 3. Aufgabe}\\
Ein topologischer Raum erf\"ullt genau dann das erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom, wenn jeder 
seiner Punkte eine abz\"ahlbare Umgebungsbasis besitzt.\\
Zeigen Sie: jeder metrische Raum erf\"ullt das erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom.\\[5mm]

\pagebreak
\noindent{\bf 4. Aufgabe}\\[-3mm]
\ben
\item
Sei $\{X_i\}_{i\in I}$ eine Familie topologischer R\"aume, und sei $X=\prod_{i\in I} X_i$ die Produktmenge der $X_i$ versehen mit der Produkt-Topologie.
(Die Produktmenge ist die Menge aller Familien $x=\{x_i\}_{i\in I}$ mit $x_i\in X_i$.)
Wir haben die Projektionen auf die Faktoren $\mathrm{pr}_i:X\to X_i$, $\mathrm{pr}_i(x)=x_i$.
%und wir nennen eine %Teilmenge $B\subset X$ Basismenge, wenn es endlich viele $i_1,\ldots,i_n\in I$ und offene Mengen %$U_k\subset X_{i_k}$ %gibt, mit denen $B=\bigcup_{i=1}^n\mathrm{pr}_i^{-1}(U_i)$ ist. Diese Mengen bilden die Basis %einer Topologie auf $X$, der sogennannten Produkt-topologie.
Zeigen Sie, dass die Produkt-Topologie die gr\"obste Topologie ist, so dass die Projektionen stetig sind. (Sind ${\mathcal T}$ und ${\mathcal T'}$ zwei Topologien auf $X$ und gilt ${\mathcal T}\subset{\mathcal T'}$, so hei\ss t ${\mathcal T}$ gr\"ober als ${\mathcal T'}$.)\\
\item
Zeigen Sie auch, dass eine Abbildung $f:Y\to X$ stetig ist, genau dann wenn jede Abbildung $\mathrm{pr}_i\circ f:Y\to X_i$ stetig ist.\\
\item Wir betrachten nun den Spezialfall $I=[a,b]\subset \mR$ und $X_i=\mR$ für alle $i\in [a,b]$. Elemente in $X$ sind dann Funktionen $x:[a,b]\to \mR$. Sei nun $(x^{(j)})_{j\in \mN}$ eine Folge von solchen Funktionen, $x^{(j)}\in X$. Zeigen Sie, dass die Folge
$x^{(j)}$ genau dann gegen $x$ in $X$ konvergiert, wenn sie --- als Funktionenfolge betrachtet --- punktweise konvergiert.
%\item
%Schlie{\ss}lich zeigen Sie bitte:  wenn $X'$ ist ein topologischer Raum mit stetigen Abbildung $p_i:X'\to X_i$, $i\in I$, ausgestattet, so %dass $\hom(Y,X')\cong\prod_i\hom(Y,X_i)$, dann gibt es eine einzigartige Hom\"oomorphismus $X\to X'$.
\een

\vskip 2cm

\noindent{\sl Abgabe der Lösungen am Dienstag 26.10.2010 vor der Vorlesung}\\
\end{document}



