Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 13 6 décembre 2006

1 Est-ce que les nombres suivants sont constructibles sur ℚ ?

\sqrt{1 + \sqrt{5}}, \sqrt{(1/5) + 2\sqrt{7/9}}, \sqrt[3]{9 + 6\sqrt{3}}, \sqrt[3]{2 + 3\sqrt{3}}, cos π/3, tan π/3, cos π/5.

2 Décomposer le polynôme P = 6X^{5}−29X^{4}+45X^{3}−39X^{2}+39X−10 en facteurs irréductibles sachant qu’il y a des racines rationelles. On suppose que r = p/q est une racine de P avec p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, pgcd(p, q) = 1.

(a) Montrer que p|10 et q|6.

(b) Montrer que 5|p ou

pq ≡ ±2 mod 5

Indication: Étudier q^{5}P (p/q) mod 5

(c) Si p = 5k, k ∈ ℤ montrer que

k ≡ −2q mod 5.

Indication: Étudier q^{5}P (p/q) mod 25

(d) Montrer que P n’a pas de racine r ∈ ℂ avec |r| ≥ 10

(e) Décomposer P en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et dans ℂ[X].

3

(a) Soit P ∈ ℂ[X]. Démontrer que P − X divise P ∘ P − X dans ℂ[X].

(b) Résoudre dans ℂ: (z^{2} + 3z + 1)^{2} + 3z^{2} + 8z + 4 = 0.

(c) Soit P ∈ ℝ[X]. Démontrer que P − X divise P ∘ P − X dans ℝ[X].

4 Démontrer que 1 + (X − 1)^{2}(X − 3)^{2} est irréductible dans ℚ[X].

5

Trouver les racines de P = X^{4} − 3X^{3} + 6X^{2} − 15X + 5 sachant que deux racines a_{1} et a_{2} vérifient a_{1}a_{2} = 5. Indication: Écrire P = (X^{2} + tX + 5)(X^{2} + aX + b)

6 Soit A = ℤ[X]. Parmi les idéaux suivants, lesquels sont principaux ?

(a) ⟨X, 2⟩_{ideal},

(b) ⟨X + 1, X^{2} − 1⟩_{ideal};

(c) ⟨3X^{3} + 2X^{2} + 1, X^{2} − 1, X + 1⟩_{ideal}.

(d) ⟨3X^{3} + 2X^{2} + 1, X^{2} − 1, X^{4} + 2⟩_{ideal}.

7 Soit P ∈ ℝ[X] tel que la fonction polynomiale associée P̃ est périodique. Montrer que le polynôme P est constant.

8 Soit P ∈ ℤ[X], t ∈ ℤ, s = P (t). Montrer que s divise P (s + t).

9 Soit 𝕂 un corps, et

A := {P ∈ 𝕂[X] | dont le coefficient de X est nul}.

Démontrer que A est un sous-anneau non principal de 𝕂[X].

10 Calculer le pgcd des polynômes P et Q suivants à coefficients dans ℝ ou ℂ.

(a) P = X^{4} + X^{3} − 3X^{2} − 4X − 1 Q = X^{3} + X^{2} − X − 1

(b) P = X^{4} − 10X^{2} + 1 Q = X^{4} − 4X^{3} + 6X^{2} − 4X + 1

(c) P = X^{5} − iX^{4} + X^{3} − X^{2} + iX − 1 Q = X^{4} − iX^{3} + 3X^{2} − 2iX + 2

11 Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈ ℝ[X] tels que UP + V Q = 1.

(a) P = X^{4} + X^{3} − 2X + 1 Q = X^{2} + X + 1

(b) P = X^{3} + X^{2} + 1 Q = X^{3} + X + 1

12

Factoriser X^{8} + X^{4} + 1 sur ℝ.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3