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  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 12  \hfill  3\ d\'ecembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}

\a Les ennonc\'es suivants sont-ils vrais ou faux ? Justifier ou demontrer
le contraire.
$$\begin{matrix}
\sqrt{1/27}\in \mQ[\sqrt{3}]\hfill&\sqrt{1+\sqrt{2}}\in \mQ[\sqrt{2}]\hfill\\[2mm]
\sqrt{9-4\sqrt{2}}\in  \mQ[\sqrt{2}]\hfill& \sqrt{29 - 12 \sqrt{5}}\in\mQ[\sqrt{5}]\hfill\\[2mm]
 \sqrt{29 - 6 \sqrt{5}}\in\mQ[\sqrt{5}]\hfill& \sqrt[3]{-7+5\sqrt{2}}\in \mQ[\sqrt{2}]\hfill \\[2mm]
\sqrt[3]{1+\sqrt{3}}\in\mQ[\sqrt{3}]\hfill& \sqrt{7+2\sqrt{10}}\in\mQ[\sqrt{10}]\hfill 
\end{matrix}  
$$
\a Soit $z_i\in \mC$ avec $z_i^2=y_i$, $i=1,\ldots 3$. 
Est-ce que $z_i\in \mQ[w_i]$ pour
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $y_1=\frac14 -i \sqrt{3}$, $w_1=i\sqrt{3}$; 
\item $y_2=\frac12+i\sqrt{2}$, $w_2=i\sqrt{2}$;
\item $y_3=\frac12+i\sqrt{3}$, $w_3=i\sqrt{3}$ ?
\end{enumerate} 

\a Calculer le polyn\^ome de minimal 
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item de $\sqrt[4]{2}$ dans $(\mQ[\sqrt2])[X]$,
\item de $2+\sqrt3$ dans $(\mQ)[X]$,
\item de $\sqrt5 + \sqrt{3+\sqrt2}$ dans $\mQ[X]$. 
\end{enumerate}

\a Calculer $[\mQ[e^{2\pi i/3}\sqrt[3]{3}]:\mQ]_{\mathrm{corps}}$,
$[\mR[e^{2\pi i/3}\sqrt[3]{3}]:\mR]_{\mathrm{corps}}$, 
$[\mQ[\sqrt[3]{1+\sqrt{3}}]:\mQ]_{\mathrm{corps}}$, et
$[\mQ[\sqrt[3]{-7+5\sqrt{2}}]:\mQ]_{\mathrm{corps}}$.

\a \begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que le polyn\^ome $P=X^3-3X^2+9X -3$ 
n'a pas de racines rationelles.
\item Soit $x$ une racine r\'eelle de $P$. Le nombre  $x$ est-il 
constructible sur $\mQ$ ? 
\end{enumerate} 

\a Montrer que $\overline{\mQ}$ est un corps.

%\a Soit $[K_2:K_1]$ fini. Montrer que tout $z\in K_2$ est alg\'ebrique
%sur $K_1$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


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% Fuer folgende Blaetter
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