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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 10  \hfill  16\ novembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}

\a Soit $L$ un corps communtatif, et $K$ un sous-annau unitaire qui est aussi 
un corps. Soient $z\in L\setminus K$ et $P\in K[X]$ avec $P\neq 0$ et $P(z)=0$.
Posons $n:=\deg P$.
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que 
  $$ K[z]:= \left\{\sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k\,|\,a_0,\ldots,a_{n-1}\in K\right\}$$
est un sous-anneau unitaire de $L$.
\item Montrer que tout sous-anneau $A$ de $L$ avec $z\in A$ et $K\subset A$ 
contient $K[z]$ comme un sous-ensemble.
\item Soit $\iota:K\to L$ l'inclusion. Utiliser l'application 
  $${\rm ev}_z^\iota:K[X]\to L$$
pour construire un isomorphisme d'anneau unitaire 
  $$K[X]/(\ker {\rm ev}_z^\iota)\to K[z].$$
\item Soit $Q$ le polyn\^ome unitaire tel que $(Q)=\ker {\rm ev}_z^\iota$. 
Montrer que $Q$ est irr\'eductible. {\it Indication: Utiliser 
que $L$ est int\`egre.}
\item Soit $R\in K[X]$ avec $R(z)\neq 0\in L$. Montrer que le polyn\^ome 
$Q$ de (d) ne divise pas $R$.
\item En utilisant Lemme V.5.4 montrer que $I=K[X]$ est le seul id\'eal de 
$K[X]$ contenant $Q$ et $R$. En d\'eduire l'existence de 
$A,B\in K[X]$ tels que 
  $$AQ+BR=1.$$
\item Montrer que $K[z]$ est un corps.
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


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% Fuer folgende Blaetter
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