Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 10 16 novembre 2006

1 Soit L un corps communtatif, et K un sous-annau unitaire qui est aussi un corps. Soient z ∈ L \ K et P ∈ K[X] avec P ≠ 0 et P (z) = 0. Posons n := deg P.

(a) Montrer que

K[z] := {∑_{k=0}^{n−1} a_{k}z^{k} | a_{0}, …, a_{n−1} ∈ K}

est un sous-anneau unitaire de L.

(b) Montrer que tout sous-anneau A de L avec z ∈ A et K ⊂ A contient K[z] comme un sous-ensemble.

(c) Soit ι : K → L l’inclusion. Utiliser l’application

ev_{z}^{ι} : K[X] → L

pour construire un isomorphisme d’anneau unitaire

K[X]/(ker ev_{z}^{ι}) → K[z].

(d) Soit Q le polynôme unitaire tel que (Q) = ker ev_{z}^{ι}. Montrer que Q est irréductible. Indication: Utiliser que L est intègre.

(e) Soit R ∈ K[X] avec R(z) ≠ 0 ∈ L. Montrer que le polynôme Q de (d) ne divise pas R.

(f) En utilisant Lemme V.5.4 montrer que I = K[X] est le seul idéal de K[X] contenant Q et R. En déduire l’existence de A, B ∈ K[X] tels que

AQ + BR = 1.

(g) Montrer que K[z] est un corps.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3