\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}    
%\usepackage{french}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[ 
  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
  pdfstartview=FitB,
  hypertex
%  pdfpagemode=UseThumbs 
]{hyperref}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 9  \hfill  13\ novembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}

\a Soit $A$ l'anneau $\mZ[i]$, et soit $p\in \mN$, $p>2$, $p$ premier.
Montrer qu'on a l'\'equivalence entre
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item $p$ est r\'eductible dans $\mZ[i]$,
\item il existe $x\in \mZ[i]$ avec $|x|^2=p$,
\item $p\equiv 1\ \mod 4$.  
\item $-\overline{1}$ est un carr\'e dans $\mZ/p\mZ$,
\end{enumerate} 

\a Montrer que les \'el\'ements irr\'eductibles dans $\mZ[i]$ sont 
\begin{itemize}
\item les nombres premiers $p$ tels que $p\equiv 3\mod 4$ et leurs associ\'es,
\item les \'el\'ements $z\in \mZ[i]$ tels que $|z|^2=2$,
\item les \'el\'ements $z\in \mZ[i]$ tels que $|z|^2=p$ o\`u $p$ est un premier, $p\equiv 1\mod 4$.
\end{itemize}    

\a D\'ecomposer  $8+6i$, $69+45 i$, $26+65i$ 
en facteurs irr\'eductibles dans $\mZ[i]$.

\a D\'ecomposer $260$ en facteurs irr\'eductibles dans $\mZ[i]$. En d\'eduire que $260$ est la somme de deux carr\'es.

\a Calculer les pgcds dans $\mZ[i]$ suivants:  
$pgcd(14-7i,2-i)$, $pgcd(26+65i,34+51i)$, $pgcd(69+45i, 12+18i)$.  

\a Montrer que l'anneau $\mZ[i\sqrt{2}]$ admet un algorithme euclidien 
avec le degr\'e  
  $$d(a+bi\sqrt{2})=a^2+2b^2.$$
\newpage
\a Soit $n$ un \'el\'ement de $\mZ$, non carr\'e d'un entier. Dans 
le cas $n<0$ nous d\'efinissions $\sqrt{n}:= i\sqrt{|n|}$.
On met (pour $n<0$ ou $n>0$)
  $$\mZ[\sqrt{n}]=\left\{a + b \sqrt{n}\,|\, a,b\in \mZ\right\}$$
et $$d:\mZ[\sqrt{n}]\to \mN, \qquad d(a + b \sqrt{n}):= |a^2-b^2n|.$$
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer 
  $$\forall x,y\in \mZ[\sqrt{n}]: d(xy)=d(x)d(y).$$
\item Montrer que $\mZ[\sqrt{n}]$ est un anneau commutatif, unitaire et int\`egre.
% \item 
D\'et\'erminer les \'el\'ements inversibles de $\mZ[\sqrt{n}]$.
\item Montrer que dans $\mZ[\sqrt{n}]$, $2$ ne divise ni $n+\sqrt{n}$ ni $n-\sqrt{n}$. 
\item Montrer que s'il n'existe pas $\al\in \mZ[\sqrt{n}]$ v\'erifiant 
$d(\al)=2$, alors $2$ est irr\'eductible dans $\mZ[\sqrt{n}]$. 
En d\'eduire que dans ce cas $\mZ[\sqrt{n}]$ n'est pas principal.
\item Montrer que si $n\leq - 3$, il n'existe pas d'\'el\'ement 
$\al\in \mZ[\sqrt{n}]$ avec $d(\al)=2$.
\item Supposons maintenant que $n$ est de la forme $4k+1$ ($k\in \mZ$). Montrer
que $d(\al)\neq 2$ pour tout $\al\in \mZ[\sqrt{n}]$.\\
{\it Indication: 
Soit $\al=x+y\sqrt{n}$ un \'el\'ement de $\mZ[\sqrt{n}]$. 
Montrer que si $d(\al)=2$ , alors $x^2-y^2+2$ est divisible 
par $4$. En d\'eduire une contradiction.}
\item Donner quelques sous-anneaux unitaires de $\mC$
qui ne sont pas factoriels.
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


%%%
%
% Fuer folgende Blaetter
%
%%%











