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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 8  \hfill  8\ novembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}

\a D\'eterminer $(\mQ[X])^*$, $(\mZ[X])^*$ et $((\mR[X])[Y])^*$.


\a\ \newline
Soit $P:=X^2+1\in \mR[X]$.

\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Calculer $P\circ Q$ o\`u $Q=X+3$.
\item Calculer $P\circ P$.
\end{enumerate}

\a Soient 
$$\phi:\mR\to M_k(\mR),\quad \phi(r):= r\cdot 1_{M_k(\mR)},$$
et $P=X^2+1$, $Q=X^4+X^2+1$, $R=X^4-1$.
Calculer ${\rm ev_B^\phi}(P)$, ${\rm ev_B^\phi}(Q)$ et ${\rm ev_B^\phi}(R)$
pour 
  $$B:=\begin{pmatrix}0 & 1 \cr -1 & 0\end{pmatrix},\qquad B:=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \cr 0 & 4 & 0\cr 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad\mbox{et}\quad \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 1\cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
{\it Remarque. Souvent on note $P(B):={\rm ev_B^\phi}(P)$.}

\a Trouver le reste de la division euclidienne de $X^{32}+X^{18}+1$ par $X^2+X+1$ dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.

\a Calculer le reste de la division euclidienne de $(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}$ par $X^2-X+1$ dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.

\a Soit $P\in \mathbb R\lbrack X\rbrack$ tel que $P$ admet $7$, (resp. $-2$ et $5$) comme reste de la division euclidienne par $X-1$ (resp. $X-2$ et $X-4$). Trouver le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)(X-2)(X-4)$.


\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


%%%
%
% Fuer folgende Blaetter
%
%%%

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item D\'ecomposer le polyn\^ome $X^4+4$ en produits de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb C \lbrack X\rbrack$ puis dans $\mathbb R\lbrack X\rbrack$.
\item Montrer que le seul nombre premier de la forme $n^4+4$ où $n\in \mathbb Z$ est $5$.
\item Soit $n\in \mathbb Z$ ; montrer que $5\text{ divise }n^4+4\Longleftrightarrow 5\text{ ne divise pas }n.$
\end{enumerate}



\item[\large 13.]  On considère les polynômes $P(X)=X^5+X-\bar 2$ et $Q(X)=X^3-\bar{2}X+\bar 1$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ \lbrack X\rbrack$ et $f(x)=\widetilde{ P}(x)\ ,\ g(x)=\widetilde{ Q}(x)$ les fonctions polynomiales associées dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Comparer $f$ et $g$.
\bigskip\newpage








