Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2006–2007

Feuille 8 8 novembre 2006

1 Déterminer (ℚ[X])^{∗}, (ℤ[X])^{∗} et ((ℝ[X])[Y])^{∗}.

2 Soit P := X^{2} + 1 ∈ ℝ[X].

(a) Calculer P ∘ Q où Q = X + 3.

(b) Calculer P ∘ P.

3 Soient

φ : ℝ → M_{k}(ℝ), φ(r) := r · 1_{M_{k}(ℝ)},

et P = X^{2} + 1, Q = X^{4} + X^{2} + 1, R = X^{4} − 1. Calculer ev_{B}^{φ}(P), ev_{B}^{φ}(Q) et ev_{B}^{φ}(R) pour

B := (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) , B := (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , et (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Remarque. Souvent on note P (B) := ev_{B}^{φ}(P). 4 Trouver le reste de la division euclidienne de X^{32} + X^{18} + 1 par X^{2} + X + 1 dans ℝ[X]. 5 Calculer le reste de la division euclidienne de (X −1)^{n+2} +X^{2n+1} par X^{2} −X +1 dans ℝ[X]. 6 Soit P ∈ ℝ[X] tel que P admet 7, (resp. −2 et 5) comme reste de la division euclidienne

par X − 1 (resp. X − 2 et X − 4). Trouver le reste de la division euclidienne de P par (X − 1)(X − 2)(X − 4).

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3