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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 7  \hfill  2\ octobre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}


\a 
Les ensembles suivants sont-ils des anneaux~? unitaires~? commutatifs~? 
int{\`e}gres~? des corps~?
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
  \item $\mathbb{Z}\lbrack\sqrt{3}\rbrack:=\{a+b\sqrt{3}/\  a, b \in \mathbb{Z}\}$.
  \item  $\mathbb{Q}\lbrack\sqrt{3}\rbrack:=\{a+b\sqrt{3}/\ a, b \in \mathbb{Q}\}$.
  \item $\Bbb Z\lbrack i\sqrt{2}\rbrack:=\{a+ib\sqrt{2}/\  a, b \in \mathbb{Z}\}$.
  \item $\Bbb Z\lbrack i\rbrack:=\{a+ib/\  a, b \in \mathbb{Z}\}$.
  \item ${\cal M}_n(\Bbb R)$, l'ensemble des matrices carr{\'e}es $n\times n$ {\`a} coefficients r{\'e}els.
  \item $GL_n(\mathbb R)$, le sous-ensemble de ${\cal M}_n(\mathbb R)$ des matrices inversibles.
  \item ${\cal F}(E,\mathbb R)$, l'ensemble des applications d'un ensemble $E$ dans $\Bbb R$.
  \item ${\cal C}(\mathbb R,\mathbb R)$, l'ensemble des applications continues de $\Bbb R$ dans $\Bbb R$.
  \item L'ensemble des suites r{\'e}elles.
  \item L'ensemble des suites r{\'e}elles born{\'e}es.
  \item $\mathbb R_n\lbrack X\rbrack$, l'ensemble des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients r{\'e}els de degr{\'e} $\leq n$.
  \item L'ensemble des entiers pairs.
  \item L'ensemble des entiers impairs.
\end{enumerate}

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
  \item Montrer que $\mathbb R^2$ muni des deux lois suivantes
    \begin{eqnarray*}
      (a,b)+(c,d)&=&(a+c,b+d)\\
      (a,b)\cdot(c,d)&=&(ac,bd)\\
    \end{eqnarray*}
est un anneau commutatif unitaire.
Est-ce un corps?
  \item Montrer que $\mathbb R^2$ muni des deux lois suivantes
    \begin{eqnarray*}
      (a,b)+(c,d)&=&(a+c,b+d)\\
      (a,b)\ast(c,d)&=&(ac-bd,ad+bc)\\
    \end{eqnarray*}
est un corps.
  \item Montrer que l'application $\varphi : (a,b)\longmapsto a+ib$ est un isomorphisme de corps de $(\mathbb{ R}^2,+,\ast)$ sur $(\mathbb C,+,\times)$.
\end{enumerate}

\newpage
\a 
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item  D{\'e}terminer les {\'e}l{\'e}ments inversibles de l'anneau $\mathbb Z$.
\item On considère sur l'anneau $\mathbb Z[i]$ l'application $N(z)=z\overline{z}$.
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item Montrer que pour tout $z\in\mathbb Z[i]$, $N(z)\in \mathbb N$.
\item Montrer que $(\mathbb Z[i])^*=\{z\in \mathbb Z[i]/N(z)=1\}$.
\item En déduire les éléments inversibles de $\mathbb Z[i]$.
  \end{enumerate}
\item De même d{\'e}terminer les {\'e}l{\'e}ments inversibles de l'anneau $Z[i\sqrt{2}]$ et de l'anneau $\mathbb Z[j]$ o{\`u} $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
\end{enumerate}


\a
Les ensembles suivants sont-ils des id{\'e}aux?
  \begin{enumerate}[{\rm (a)}]
  \item $n\mathbb Z$ dans l'anneau $\mathbb Z$ ($n\in\mathbb N$).
  \item $\{P\in \mathbb R[X] /\  P(\alpha)=1\}$ dans $\mathbb R[X]$ ($\alpha\in\mathbb R$).
  \item L'ensemble des suites r{\'e}elles convergeant vers 0 dans l'anneau des suites born{\'e}es.
  \item L'ensemble des suites r{\'e}elles convergeant vers 1 dans l'anneau des suites born{\'e}es.
  \item L'ensemble des fonctions d{\'e}rivables de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ dans l'anneau ${\cal C}(\mathbb R,\mathbb R)$.
  \item $\mathbb R_n[X]$ dans l'anneau $\mathbb R[X]$.
\end{enumerate}

\a  
Montrer la formule du binôme de Newton dans un anneau commutatif.

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Soit ${\cal I}$ un idéal d'un anneau commutatif unitaire ${\cal A}$. Montrer les équivalences suivantes~:
$${\cal I}={\cal A}\Longleftrightarrow 1_{\cal A}\in {\cal I}\Longleftrightarrow {\cal I}\cap {\cal A}^*\not = \emptyset$$
\item Soit  ${\cal A}$ un corps commutatif et soit  ${\cal I}$ un idéal de ${\cal A}$ non réduit à  $\{0_{\cal A}\}$ : montrer que $1_{\cal A}\in {\cal I}$.
\item Soit  ${\cal A}$ un anneau commutatif unitaire non réduit à $\{0_{\cal A}\}$ dont les seuls idéaux sont  ${\cal A}$ et $\{0_{\cal A}\}$. Soit $a$ un élément non nul de  ${\cal A}$ : en considérant l'idéal $(a)$, montrer que $a$ est inversible.

 \item Montrer qu'un anneau commutatif unitaire ${\cal A}$ non réduit à $\{0_{\cal A}\}$ est un corps si et seulement si ses seuls id{\'e}aux sont ${\cal A}$ et $\{0_{\cal A}\}$.
\end{enumerate}



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\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


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% Fuer folgende Blaetter
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