Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 6 29 septembre 2006

1 Montrer que le groupe S_{4} contient un sous-groupe normal H isomorphe au groupe engendré par les symétries orthogonales du rectangle.

2 Soit K un sous-groupe de G, et soit H un sous-groupe normal de G. Montrer que K ∩ H est un sous-groupe normal de K.

3 Soit G un groupe, et soit H un sous-groupe d’indice 2. Montrer que H est un sous-groupe normal de G.

4 Montrer que le groupe Sl(n, ℝ) := {A ∈ Gl(n, ℝ)| det A = 1} est un sous-groupe distingué du groupe Gl(n, ℝ). Montrer que Gl(n, ℝ)/Sl(n, ℝ) est isomorphe à (ℝ^{∗}, ·).

5 Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 6, 7, 8 et 10.

6 Exprimer comme produits des cycles disjoints σ_{1} = (123)(45)(16789)(15) ∈ S_{9}, σ_{2} = (12)(123)(12),

σ_{3} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 1 & 7 & 3 & 2 & 6 & 4 & 5 \end{matrix}) ∈ S_{10}

et

σ_{4} = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 8 & 5 & 9 & 7 & 3 & 1 & 4 & 6 & 2 \end{matrix}) ∈ S_{9}.

Calculer (σ_{1})^{100}, (σ_{2})^{1000}, (σ_{3})^{2006} et (σ_{4})^{2007}.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3