Exercices d’Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 5 20 septembre 2006

1 Soit G un groupe, X = G.

(a) Montrer que G×X → X, (g, x) ↦ gxg^{−1} est une action de G sur soi-même. (On appelle cette action la conjugaison.)

(b) Montrer que G × X → X, (g, x) ↦ xg^{−1} est une action de G sur soi-même (dite la multiplication à droite).

(c) Est-ce que G × X → X, (g, x) ↦ xg est une action de G sur soi-même ?

2 Soit G un groupe, X := App(G, ℝ). Montrer que

A : G × X → X, (g, f) ↦ (h ↦ f(g^{−1}h))

définit une action de G sur X.

3 Soit n ∈ ℕ^{∗}. G = {(B, v) | B ∈ Gl(n, ℝ), v ∈ ℝ^{n}}. On munit G avec la multiplication

(B_{1}, v_{1}) · (B_{2}, v_{2}) = (B_{1}B_{2}, v_{1} + B_{1}v_{2})

(a) Montrer que G est un groupe.

(b) Montrer que H := {(1_{n}, v) | v ∈ ℝ^{n}} est un sous-groupe normal.

(c) Montrer que G × ℝ^{n} → ℝ^{n}, ((b_{1}, v_{1}), x) ↦ v_{1} + B_{1}x est une action de G sur ℝ^{n}.

4 Décomposer

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 3 & 2 & 1 & 4 & 6 & 7 \end{matrix}) et (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 4 & 2 & 5 \end{matrix})

(a) en cycles disjoints et

(b) en transpositions.

5 Soit X l’ensemble de toutes les fonctions de ℝ^{n} à ℝ. Montrer que

A : S_{n} × X → X, (σ, f) ↦ ((x_{1}, …, x_{n}) ↦ f(x_{σ(1)}, …, x_{σ(n)}))

est une action de G sur X.

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