\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}    
%\usepackage{french}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[ 
  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
  pdfstartview=FitB,
  hypertex
%  pdfpagemode=UseThumbs 
]{hyperref}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 4  \hfill  13\ septembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}


\a Soient $n,m\in \mZ$. D\'eterminer le sous-groupe engendr\'e
par $\{n,m\}$.\\
{\it Indication: Il est utile d'utiliser la 
division euclidienne dans $\mZ$.} 

\a Soit $\mathbb{U}_n=\{ z\in \mathbb{C}\ /\  z^n =1\}$ 
pour $n\in \mathbb{N}^*$, et $\mathbb{U}:=\bigcup_{n\in \mN} \mathbb{U}_n$.
Montrer que $\ord (\mathbb{U})=\infty$, mais que $\ord(x)<\infty$ pour tout
$x\in \mathbb{U}$.

\a Soit $G$ le groupe de sym\'etries d'un triangle \'equilat\'eral.
D\'eterminer tous les sous-groupes de $G$.
Parmi eux, lesquels sont normaux?

\a Soit $G$ un groupe dont tous les \'el\'ements 
sont d'ordre $1$ ou $2$.
\begin{enumerate}[{\rm(a)}]
\item Montrer que $G$ est commutatif.
\item Soit $x\in G$, $x\neq e$. 
Montrer que tous les \'el\'ements de  $G/\<x\>$ 
sont d'ordre $1$ ou $2$.
\item Supposons en plus que $G$ est d'ordre fini.
Montrer que l'ordre de $G$ est une puissance de~$2$.
\end{enumerate}

\a
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Soit $G$ un groupe. On munit l'ensemble des automorphismes de $G$, 
not\'e ${\rm Aut}(G)$ avec la composition. Montrer que ${\rm Aut}(G)$
est un groupe. 
\item Soit ${\rm Inn}(G)$ le sous-ensemble des automorphismes 
int\'erieurs. Montrer que ${\rm Inn}(G)$ est un sous-groupe normal de 
${\rm Aut}(G)$.
\end{enumerate}

\a Soit $p\in \mN^*$ premier.
D\'eterminer tous les automorphismes de groupe de $\mZ/p\mZ$.

\a R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants 

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 2\pmod{4}\\
n & \equiv  & 5\pmod{7} 
\end{array}
\right.\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & -1\pmod{4}\\
n & \equiv  & 2\pmod{7} 
\end{array}
\right.$$

\a R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants 

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 1\pmod{4}\\
n & \equiv  & 3\pmod{6} 
\end{array}
\right.\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
n & \equiv  & 3\pmod{4}\\
n & \equiv  & 2\pmod{6} 
\end{array}
\right.$$


\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}


%%%
%
% Fuer folgende Blaetter
%
%%%

\a D\'eterminer tous les automorphismes de $S_3$.


\a Montrer que le groupe $S_4$ contient un sous-groupe $G$ 
isomorphe au groupe engendré par les symétries orthogonales du rectangle. 
%Calculer les ordres des éléments de $G$.


\komment{
\a
 On consid\`ere $S_3=\lbrace e,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5 \rbrace$ le groupe des permutations \`a trois \'el\'ements :
$$e= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\\ 
\end{array}
\right), \sigma_1 =\left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3\\ 
\end{array}
\right) ,\sigma_2=\left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&3&2\\ 
\end{array}
\right)$$ 
$$\sigma_3= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&2&1\\ 
\end{array}
\right),\sigma_4= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2\\ 
\end{array}
\right),\sigma_5= \left(
\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1\\ 
\end{array}
\right)$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ecrire la table du groupe $S_3$.
\item Calculer les ordres des \'el\'ements de $S_3$.
\item Trouver tous les sous-groupes de $S_3$.
\item $S_3$ est-il isomorphe \`a $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ?
\end{enumerate}
}













