Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2006–2007

Feuille 4 13 septembre 2006

1 Soient n, m ∈ ℤ. Déterminer le sous-groupe engendré par {n, m}.

Indication: Il est utile d’utiliser la division euclidienne dans ℤ.

2 Soit 𝕌_{n} = {z ∈ ℂ / z^{n} = 1} pour n ∈ ℕ^{∗}, et 𝕌 := ⋃_{n∈ℕ} 𝕌_{n}. Montrer que ord(𝕌) = ∞, mais que ord(x) < ∞ pour tout x ∈ 𝕌.

3 Soit G le groupe de symétries d’un triangle équilatéral. Déterminer tous les sous-groupes de G. Parmi eux, lesquels sont normaux?

4 Soit G un groupe dont tous les éléments sont d’ordre 1 ou 2.

(a) Montrer que G est commutatif.

(b) Soit x ∈ G, x ≠ e. Montrer que tous les éléments de G/⟨x⟩ sont d’ordre 1 ou 2.

(c) Supposons en plus que G est d’ordre fini. Montrer que l’ordre de G est une puissance de 2.

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(a) Soit G un groupe. On munit l’ensemble des automorphismes de G, noté Aut(G) avec la composition. Montrer que Aut(G) est un groupe.

(b) Soit Inn(G) le sous-ensemble des automorphismes intérieurs. Montrer que Inn(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

6 Soit p ∈ ℕ^{∗} premier. Déterminer tous les automorphismes de groupe de ℤ/pℤ.

7 Résoudre les systèmes d’équations suivants

\{ \begin{matrix}n & ≡ & 2 (mod 4) \\ n & ≡ & 5 (mod 7) \end{matrix}  \{ \begin{matrix}n & ≡ & −1 (mod 4) \\ n & ≡ & 2 (mod 7) \end{matrix}

8 Résoudre les systèmes d’équations suivants

\{ \begin{matrix}n & ≡ & 1 (mod 4) \\ n & ≡ & 3 (mod 6) \end{matrix}  \{ \begin{matrix}n & ≡ & 3 (mod 4) \\ n & ≡ & 2 (mod 6) \end{matrix}

     http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3