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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices d'Alg\`ebre 3\\Bernd Ammann, 2006--2007}

    Feuille 3  \hfill  11\ septembre 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill        
\vspace{1ex}


%
%Theorie des groupes, 2ieme partie
%
\a Montrer que $ \mathbb{R}$ muni de la loi $\ast$ définie par :
$$x\ast y=(x^3+y^3)^{\frac{1}{3}}$$
est un groupe commutatif isomorphe {\`a} $(\mathbb{R},+)$.\\
(On pourra considérer l'application $x\longrightarrow \root 3\of{x}$ ).
%
\a Soit $G$ l'ensemble des matrices 
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\  \left(
\begin{array}{cc} 1&x\\ x&1\\ 
\end{array}
\right)$ pour $ x\in \rbrack -1,1\lbrack $.
 Montrer que $G$ est un groupe isomorphe {\`a} 
$( \mathbb{R}\ ,\ +)$ (considérer l'application $u\mapsto \tanh u$).
%
\a Soit : $\mathbb{U}_n=\{ z\in \mathbb{C}\ /\  z^n =1\}$ pour $n\in \mathbb{N}^*$. On considère l'application :

 $$\overline{\varphi }\ : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \longrightarrow \  \mathbb{U}_n$$
$$\qquad \qquad\qquad  \overline{k}\ \longmapsto \ \exp\left(\frac{2ik\pi }{n}\right)$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que l'application $\overline{\varphi }$ est bien définie et 
est un isomorphisme de groupes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{U}_n$.
\item Quels sont les éléments $z\in \mathbb{U}_n$ tels que $ \mathbb{U}_n=\langle z\rangle $ ?  

\end{enumerate}

\a Soit $p$ un nombre premier. Montrer que tout groupe d'ordre $p$ est cyclique.
\a Déterminer, à isomorphisme près, les groupes 
d'ordre $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.

\a Soit $n\in \mN^*$, et soit $G$ l'ensemble des \'el\'ements inversibles dans $\mZ/n\mZ$.
Montrer que $G$ muni avec la multiplication est un groupe commutatif. D\'eterminer l'ordre de $G$.

\newpage
\a
 Soit $G$ le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de $\mathbb Z/24\mathbb Z$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que $G=\{\overline{1},-\overline{1},\ \overline{5},-\overline{5},\ \overline{7},-\overline{7},\ \overline{11},-\overline{11}\}$.
\item Ecrire la table du groupe $G$.
\item Calculer les ordres des éléments de $G$ ; $G$ est-il cyclique ? 
\end{enumerate}
\item Soit $H$ un sous-groupe de $G$ : quelles sont les valeurs possibles pour l'ordre de $H$ ?
\item Déterminer tous les sous-groupes de $G$ d'ordre $2$.
\item Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $4$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que si $-\overline{1}\in H$, alors $H$ est de la forme $H=\{\overline{1},-\overline{1},\ \overline{a},-\overline{a}\}$ où $\overline{a}\in \{\overline{5},\ \overline{7},\ \overline{11}\}$.
\item Montrer que si $-\overline{1}\not\in H$, alors $H$ est de la forme $H=\{\overline{1},\ \overline{a},\ \overline{b},\ \overline{ab}\}$ où $\overline{a}$ et $\overline{b}$ sont distincts, différents de $\overline{1}$ et de $-\overline{1}$ et où $\overline{b}\not=-\overline{a}$.

\end{enumerate}
\item Expliciter tous les sous-groupes de $G$.



\item On considère l'application
$$\begin{array}{rcccl}
\varphi: & \langle -\overline{1} \rangle\times  \langle \overline{5} \rangle\times  \langle \overline{7} \rangle&\longrightarrow & G\\
 & (\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c})&  \longmapsto & \overline{abc}
\end{array}$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de groupes.
\item En déduire que $G\simeq \left(\mathbb Z/2\mathbb Z\right)^3$.
\end{enumerate}
\item  Soit $G_1$ le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de $\mathbb Z/30\mathbb Z$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les éléments de $G_1$. 
\item Calculer les ordres des éléments de $G_1$ .
\item $G$ et $G_1$ sont-ils isomorphes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/alg3}
\end{document}












