Exercices d’Algèbre 3

Bernd Ammann, 2006–2007

Feuille 3 11 septembre 2006

1 Montrer que ℝ muni de la loi ∗ définie par :

x ∗ y = (x^{3} + y^{3})^{\frac{1}{3}}

est un groupe commutatif isomorphe à (ℝ, +). (On pourra considérer l’application x ⟶ \sqrt[3]{x} ).

2 Soit G l’ensemble des matrices \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} ( \begin{matrix}1 & x \\ x & 1 \end{matrix} ) pour x ∈] − 1, 1[. Montrer que G est un

groupe isomorphe à (ℝ , +) (considérer l’application u ↦ tanh u).

3 Soit : 𝕌_{n} = {z ∈ ℂ / z^{n} = 1} pour n ∈ ℕ^{∗}. On considère l’application :

\overline{φ} : ℤ/nℤ ⟶ 𝕌_{n}

\overline{k} ⟼ exp (\frac{2ikπ}{n} )

(a) Montrer que l’application \overline{φ} est bien définie et est un isomorphisme de groupes de ℤ/nℤ sur 𝕌_{n}.

(b) Quels sont les éléments z ∈ 𝕌_{n} tels que 𝕌_{n} = ⟨z⟩ ?

4 Soit p un nombre premier. Montrer que tout groupe d’ordre p est cyclique.

5 Déterminer, à isomorphisme près, les groupes d’ordre 1, 2, 3, 4 et 5.

6 Soit n ∈ ℕ^{∗}, et soit G l’ensemble des éléments inversibles dans ℤ/nℤ. Montrer que G muni avec la multiplication est un groupe commutatif. Déterminer l’ordre de G.

7 Soit G le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de ℤ/24ℤ.

(a) (i) Montrer que G = \{\overline{1}, −\overline{1}, \overline{5}, −\overline{5}, \overline{7}, −\overline{7}, \overline{11}, −\overline{11}\}.

(ii) Ecrire la table du groupe G.

(iii) Calculer les ordres des éléments de G ; G est-il cyclique ?

(b) Soit H un sous-groupe de G : quelles sont les valeurs possibles pour l’ordre de H ?

(c) Déterminer tous les sous-groupes de G d’ordre 2.

(d) Soit H un sous-groupe de G d’ordre 4.

(i) Montrer que si −\overline{1} ∈ H, alors H est de la forme H = \{\overline{1}, −\overline{1}, \overline{a}, −\overline{a}\} où \overline{a} ∈ \{\overline{5}, \overline{7}, \overline{11}\}.

(ii) Montrer que si −\overline{1} ∉ H, alors H est de la forme H = \{\overline{1}, \overline{a}, \overline{b}, \overline{ab}\} où \overline{a} et \overline{b} sont

distincts, différents de \overline{1} et de −\overline{1} et où \overline{b} ≠ −\overline{a}.

(e) Expliciter tous les sous-groupes de G.

(f) On considère l’application

\begin{aligned}φ : & ⟨−\overline{1}⟩ × ⟨\overline{5}⟩ × ⟨\overline{7}⟩ & ⟶ & G \\ & (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) & ⟼ & \overline{abc} \end{aligned}

(a) Montrer que φ est un isomorphisme de groupes.

(b) En déduire que G ≃ (ℤ/2ℤ)^{3}.

(g) Soit G_{1} le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de ℤ/30ℤ. (a) Déterminer les éléments de G_{1}.

(b) Calculer les ordres des éléments de G_{1} .

(c) G et G_{1} sont-ils isomorphes ?

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3